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Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.

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Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
Interpretaciones del Signo Igual.
Un Estudio de Libros de Texto.
Trabajo presentado por:
Mónica Ramírez García
Dirigido por:
Purificación Rodríguez Marcos
Junio 2010
Programa de Psicología Escolar y del Desarrollo.
Departamento de Psicología Evolutiva y de la Educación
Facultad de Psicología y Facultad de Educación
Universidad Complutense de Madrid
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................ 3
1. CAPÍTULO 1: MARCO TEÓRICO ............................................................................ 6
1.1. Aritmética y Álgebra ............................................................................................. 6
1.2. Uso e interpretaciones del signo igual en los niños ............................................... 9
Algunos resultados con niños de Educación Primaria.............................................. 9
La comprensión de la igualdad en Educación Secundaria ..................................... 12
Algunas explicaciones sobre el origen de las dificultades de comprensión del signo
igual en los alumnos ............................................................................................... 15
1.3. El desarrollo del pensamiento relacional. La igualdad como relación ................ 21
El desarrollo del pensamiento relacional ................................................................ 21
La igualdad como relación ..................................................................................... 23
2. CAPÍTULO 2: MARCO EXPERIMENTAL ............................................................. 26
2.1. Objetivos e hipótesis del estudio ......................................................................... 26
2.2. Metodología ......................................................................................................... 28
Materiales ............................................................................................................... 28
Procedimiento ......................................................................................................... 28
2.3. Resultados y análisis ............................................................................................ 31
Contextos Aritméticos ............................................................................................ 32
Contexto no Aritméticos......................................................................................... 43
2.4. Conclusiones........................................................................................................ 48
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................... 50
Libros de Texto analizados ..................................................................................... 52
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Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
INTRODUCCIÓN
En matemáticas los signos y los símbolos tienen una gran importancia, ya que el
lenguaje matemático los utiliza continuamente. Un signo es cualquier cosa, acción o
suceso que, por una relación natural o convencional, evoca a otra o la representa
(Moliner, 2007). Si tomamos como definición de símbolo un tipo de signo en el cual la
relación con el objeto al que se refiere es arbitraria y se ha determinado por
convenciones, encontraremos que la mayoría de los signos matemáticos son símbolos
porque su significado se ha establecido por convenciones.
El aprendizaje de las Matemáticas implica forzosamente el manejo y comprensión de
los símbolos matemáticos. Al ser signos con significados convencionales los alumnos
encuentran dificultades en su aprendizaje. Una de estas dificultades es el hecho de que
un mismo símbolo puede tener significados distintos (p.e., el número 2 representa la
cantidad de un conjunto de dos elementos y también la posición de un objeto en un
conjunto ordenado, además en unos casos, se utiliza la palabra ‘dos’ y en otros la
palabra ‘segundo’ para nombrarlo). Otros conceptos matemáticos representados por
símbolos son las relaciones entre las cantidades. Por ejemplo, “menor que <”, “mayor
que >”, “menor o igual que ≤”, “mayor o igual que ≥”, pero sin duda el signo más usado
en matemáticas es el signo igual = para representar la equivalencia numérica de las
cantidades, que están a uno y otro lado del signo. Uno de los objetivos del currículum es
aprender el significado de los símbolos matemáticos, lo que no quiere decir que los
estudiantes adquieran los significados correctos de estos signos, y como consecuencia
aparece el fracaso en esta materia. Uno de los signos al que los estudiantes no le dotan
de un significado completo y es especialmente importante es el signo igual.
Siguiendo a Essien y Setati (2006), desde una perspectiva histórica, la primera vez que
fue utilizado el signo igual (=) para afirmar la equivalencia de dos expresiones fue en la
obra The Whetstone of Witte (La piedra de afilar el ingenio, 1557) del matemático
inglés Robert Recorde. El libro está dedicado al Álgebra y hace referencia al signo igual
explicando:
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Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
…y para evitar la tediosa repetición de las palabras: ‘es igual a’, pondré, como
hago a menudo en el curso de mi trabajo, un par de paralelas o rectas gemelas de
la misma longitud, así: (═), porque no hay dos cosas que puedan ser más
iguales” (citado por Gutiérrez, 2008, p. 90).
Antes de Recorde, el signo igual no se representaba con las dos líneas paralelas que
conocemos ahora. En los papiros más antiguos de Egipto aparecía la igualdad
representada por el símbolo ╤ y Diofanto, alrededor de la mitad del siglo tercero antes
de Cristo, representaba la relación de igualdad por ί. Más adelante, Pacioli en 1494
utilizaba el signo æ como diminutivo de la palabra ‘aequalis’ y algunos autores, como
Kepler, Galileo, Pascal y Fermat, expresaban la igualdad con palabras como aequales,
aequantur, esgale, faciunt, ghelijck, o gleich. También, un siglo antes que Recorde,
parece que casualmente Regiomontano utilizó una raya horizontal (—) para representar
la igualdad.
Después de la primera aparición del signo (═) en la obra de Recorde (1557), no volvió a
mostrarse hasta años después. Fue en 1631 cuando disfrutó de un reconocimiento
generalizado en Inglaterra. Mientras tanto, en el resto de países europeos, el signo ═ se
utilizaba para expresar relaciones distintas de la igualdad. Por ejemplo, Francisco Vieta
en 1591 recurría a este signo para designar la diferencia aritmética; Descartes, en 1638,
lo usó para designar más o menos (±); Johann Caramuel, marcaba la separación de la
parte entera y la parte decimal de un número y finalmente, Dulaurens y Reyher para
indicar el paralelismo de dos rectas. Esta situación en las que se daban cinco
significados distintos a un mismo signo, hacía que el signo ═ corriese peligro de ser
descartado a favor de algún otro símbolo que no tuviera asociado tantos significados.
Durante la segunda mitad del siglo XVI aparecieron otros símbolos para designar la
igualdad. Por ejemplo, un monje francés llamado J. Buteo usaba el símbolo [ ; un
escritor alemán Xylander recurrió al signo ║ para expresar la igualdad. Este último
signo lo llegó a utilizar Descartes. Este mismo autor utilizó el signo
que fue el más
firme competidor del signo de Recorde, gracias a la gran difusión de su libro Géométrie.
Una propuesta curiosa fue la realizada por Hérigone (París, 1644). Utilizó el símbolo
2|2 para la igualdad, 3|2 para “mayor que”, y 2|3 para “menor que”, aunque no llegó a
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Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
interesar a nadie esta notación. Este autor también llegó a utilizar ∏ para la igualdad,
acortando la línea vertical derecha para representar “mayor que” y la línea vertical
izquierda para representar “menor que”.
Finalmente, el símbolo de Recorde fue usado por autores como Isaac Newton, lo que
empezó a suponer un gran impulso en toda Europa. Los omienzos del siglo XVIII se
pueden señalar como el momento en que se acaba la competencia. El gran avance
matemático de este tiempo debido la invención del cálculo diferencial e integral, unido
al hecho de que tanto Newton como Leibniz empleasen el símbolo de Recorde, llevó a
su reconocimiento general. De esta forma, el signo de igualdad ═ es uno de los pocos
símbolos matemáticos que han contado con aprobación universal.
El aprendizaje del significado de los símbolos matemáticos y en concreto el del signo
igual, es muy importante para poder comprender multitud de expresiones aritméticas y
algebraicas. Numerosos estudios han puesto de relieve que incluso los estudiantes de
secundaria tienen grandes dificultades a la hora de captar su significado. Teniendo en
cuenta esto, en este trabajo realizaremos una revisión de algunas investigaciones
anteriores para mostrar qué significados y qué usos le dan los escolares, establecer por
qué es tan importante adquirir un significado completo del signo igual, cuál es el
significado relacional que tiene este signo y cómo se puede desarrollar mediante una
pedagogía basada en el pensamiento relacional. Todo esto los veremos en el Capítulo 1
que contendrá el marco teórico. En el Capítulo 2 presentaremos el estudio que hemos
desarrollado, que constituye la primera parte de un proyecto más amplio que tendrá
como objetivo la elaboración de la Tesis Doctoral. En concreto, revisaremos algunos
libros de texto, de distintos niveles educativos, para establecer el modo y los contextos
en los que se presenta el signo igual a los estudiantes de primer ciclo de primaria.
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Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
1. CAPÍTULO 1: MARCO TEÓRICO
1.1. Aritmética y Álgebra
En los últimos años, muchos investigadores han intentado analizar las causas del alto
fracaso escolar en Matemáticas, lo que les ha llevado a construir programas de
enseñanza para conseguir mejorar el aprendizaje. Una de las áreas más problemáticas de
las Matemáticas es el Álgebra. En efecto, muchos estudiantes de secundaria muestran
una preparación insuficiente cuando se introduce esta asignatura. Una de las ideas como
solución a este problema es la propuesta Early-Algebra (Molina, 2006), que está basada
en la integración de modos de pensamiento algebraico en las matemáticas escolares,
permitiendo enriquecer la actividad matemática de estos niveles. Trata de desarrollar los
aspectos algebraicos que posee el niño y utilizar representaciones que permitan a los
alumnos operar a un nivel de generalidad más alto.
La enseñanza tradicional tiende a separar la Aritmética del Álgebra, es decir, se produce
una discontinuidad al pasar de la Aritmética al Álgebra. En el currículo, el aprendizaje
de la Aritmética precede al del Álgebra y la razón es que la primera parece ser más
concreta y por tanto, más fácil de aprender, se basa en la fluidez de cálculo y ha sido
casi exclusivamente concebida para calcular respuestas. Las operaciones de sumar,
restar, multiplicar y dividir se consideran procesos que operan sobre las cantidades
siguiendo una serie de pasos para generar un número simple, que es la respuesta al
cálculo, sin reflexionar sobre las cantidades mismas y las relaciones entre ellas.
El Álgebra se introduce posteriormente según el currículum. La NCTM (2000)
distingue varias componentes del Álgebra: Comprensión de patrones, relaciones entre
cantidades y funciones, la representación de relaciones matemáticas, el análisis de
situaciones y estructuras matemáticas utilizando símbolos algebraicos, el uso de
modelos matemáticos para representar y comprender relaciones cuantitativas, y el
análisis del cambio. El Álgebra se ocupa de la generalización de la Aritmética, por lo
que se introduce cuando se considera que los alumnos han adquirido las habilidades
aritméticas necesarias, sin ocuparse de la conexión entre Aritmética y Álgebra. De
hecho, la enseñanza tradicional de la Aritmética no se preocupa de que los alumnos
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Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
capten las propiedades de los números y de las operaciones. Se da por hecho que las
adquieren de forma inductiva con la práctica masiva de resolución de operaciones
aritméticas. Para comprender el Álgebra, lo más importante son las relaciones que se
dan entre las cantidades y las operaciones que aparecen en las ecuaciones. El
razonamiento algebraico se basa en la comprensión de un pequeño número de
propiedades de los números y las relaciones entre estas cantidades que marcan los
símbolos, como por ejemplo el signo igual ‘=’.
En Estados Unidos, la NCTM (2000) ha mostrado apoyo a la propuesta Early-Algebra
proponiendo una reforma en la enseñanza de la Aritmética para que los conceptos y las
destrezas de Aritmética de la escuela elemental estén mejor coordinadas con la
enseñanza del Álgebra. Más concretamente, esta reforma consiste en un cambio
curricular, que aboga por la introducción del Álgebra desde los primeros años escolares.
Este cambio curricular favorece el desarrollo conceptual y la coherencia de las
Matemáticas desde los primeros cursos escolares. Brevemente, la idea central de este
cambio es trabajar con actividades que faciliten la transición entre la Aritmética y el
Álgebra, poniendo especial énfasis en las estructuras que subyacen a las operaciones
aritméticas y sus propiedades y no tanto, en el aspecto del cálculo (Molina, 2006). El
objetivo final es promover el pensamiento algebraico junto con el aritmético, para
facilitar el aprendizaje con comprensión. Aprender Aritmética no consiste solo en la
memorización de cientos de hechos numéricos y procedimientos para llevar a cabo
algoritmos de resolución de operaciones aritméticas, sino en adquirir una serie de
conceptos que permitan desarrollar estrategias para hacer cálculos aritméticos. En otras
palabras, implica que los alumnos interioricen generalidades (principios, propiedades,
relaciones) que se encuentran implícitas en la estructura de la aritmética. Autores como
Carpenter et al. (2003) muestran la viabilidad de la propuesta de pensamiento algebraico
temprano, su puesta en práctica por los docentes y las distintas concepciones y
capacidades del pensamiento algebraico en los niños.
Una de las dificultades que se han encontrado es la comprensión del signo igual. El
estudio que aquí presentamos se centra en la comprensión del signo igual que adquieren
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Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
los niños durante su escolarización. Veremos que si se adquiere un significado correcto
del signo igual, se puede alcanzar con más seguridad el objetivo de trabajar el
razonamiento algebraico. En Aritmética, el signo igual aparece como indicador de llevar
a cabo la operación aritmética que le precede. Vamos a ver que durante los primeros
años de Educación Primaria los niños adquieren el significado del signo igual como ‘el
total o resultado de una operación aritmética’, adquiriendo así una comprensión
incompleta del signo igual. De una forma más completa, el signo igual indica la relación
de equivalencia numérica entre las dos expresiones que se encuentran a ambos lados del
signo. Si lo que se pretende es ayudar a los niños a trabajar el pensamiento algebraico,
se ha de prestar especial atención al hecho de que adquieran la comprensión relacional
del signo igual en los primeros cursos, ya que es uno de los pilares para la manipulación
de expresiones y ecuaciones algebraicas.
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Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
1.2. Uso e interpretaciones del signo igual en los niños
Como señalamos en páginas anteriores, un concepto fundamental en Aritmética y
Álgebra es la relación de equivalencia numérica representada por el signo igual. Desde
el primer curso de Educación Primaria los niños encuentran el signo igual en diversas
situaciones. Ahora bien, que los estudiantes usen el signo igual no significa que
comprendan realmente su significado matemático. En lo que sigue, pasaremos revista a
distintas investigaciones que ponen de manifiesto las interpretaciones que hacen los
niños de este signo.
En los últimos 20 años, las investigaciones muestran que el significado del signo igual
que adquieren los estudiantes desde los primeros cursos de escolarización es
incompleto. En efecto, la mayoría de los niños, desde los primeros años de la enseñanza
obligatoria no tienen una comprensión adecuada del signo igual, interpretándolo como
una invitación a hacer algo, es decir, operar sobre los números más que un símbolo
relacional (p.e., Morris, 2003; Carpenter, Franke y Levi, 2003; McNeil y Alibali, 2005b;
Essien & Setati, 2006; Hunter, 2007).
Existen distintas investigaciones realizadas con niños de diferentes edades. Desde los
más pequeños que están empezando la educación obligatoria hasta estudiantes de
secundaria.
Algunos resultados con niños de Educación Primaria
Las investigaciones realizadas en los años 80 (p.e., Behr, Erlwanger y Nichols, 1980)
ponían de manifiesto que los niños de 5-8 años consideraban el signo de igualdad como
un operador, en vez de un símbolo relacional. Como operador el signo igual se
interpreta como una instrucción para realizar una operación aritmética. Esta
interpretación operacional está relacionada con el hecho de que el signo se lea
únicamente de izquierda a derecha, lo que significa que se ha de operar siempre sobre
los dígitos que están a la izquierda y que la respuesta se ha de situar a la derecha del
signo. Como era de esperar, esta interpretación conduce a los niños a múltiples errores.
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Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
Por ejemplo, cuando se presentan sentencias del tipo 4=1+3 consideran que se han
escrito al revés o que expresiones como 4=4 están mal escritas, procediendo a
reescribirlas de la siguiente forma: 4+0=4. Además, sentencias del tipo 1 + 3 = 2 + 2
tampoco tenían sentido para los niños con una interpretación operacional, ya que
ignoran la parte final de la expresión ‘+2’. Para adquirir un significado más completo
del signo igual, debería interpretarse como un signo bidireccional, que se pueda leer
tanto de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Esto iría más en la línea del
pensamiento algebraico que comentábamos anteriormente.
Utilizando otro tipo de sentencias, Carpenter (2003) mostró las diferentes soluciones
que daban alumnos de entre 6 y 12 años a la sentencia abierta 8 + 4 = _ + 5. La
respuesta correcta era 7, pero la mayoría de los niños realizaban la operación que estaba
a la izquierda del signo igual y por lo tanto, la solución era 12 ó 17 si los niños sumaban
todos los números (i.e., 8 + 4 + 5). Otros extendían el problema escribiendo 8 + 4 = 12
+ 5 = 17. Este último error es un claro ejemplo del sentido unidireccional que adquiere
el signo igual cuando su significado es operacional.
La resolución de tareas similares a las anteriores se podría llevar a cabo con éxito si los
estudiantes tuvieran el conocimiento de algunos principios básicos que subyacen a las
relaciones entre las cantidades numéricas. La interpretación del signo igual podría estar
relacionada con la compresión del concepto de la relación de igualdad representada por
el signo igual. Para averiguar si los niños de Educación Primaria (entre 6 y 11 años)
eran capaces de utilizar el conocimiento de ciertos principios básicos sobre las
relaciones de igualdad y desigualdad entre cantidades numéricas y aplicarlos a la
resolución de problemas aritméticos, Morris (2003) diseñó dos conjuntos de tareas
basadas en propiedades y principios básicos. Los principios básicos utilizados fueron el
principio de inversión (a + c – c = a – c + c = a), compensación (si a = b y c = d,
entonces a ± c = b ± d), adición compleja (si a = b y c > d, entonces a+c > b +d),
subtracción compleja (si a = b y c > d, entonces a - c < b - d), compensación de la resta
y suma (se suma o resta la misma cantidad a ambos lados del signo igual). Además,
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Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
utilizó alguna sentencia que reflejaba propiedades como la conmutativa. Morris propuso
tareas que se podían resolver simplemente aplicando estos principios y propiedades y
otras en las que era necesario cuantificar. Para comprobar si los niños eran capaces de
aplicar principios básicos para resolver problemas en situaciones de igualdad o
desigualdad numérica creó dos conjuntos de tareas, en uno aparecía el signo igual y en
otro no estaba presente el signo igual, simplemente se mostraba dos cantidades
separadas en dos columnas y se les preguntaba si esas cantidades eran iguales o si una
era mayor que otra. En las tareas del conjunto sin signo igual, encontró que la mayoría
de los niños aplicaban principios básicos para resolver las tareas numéricas sobre
relaciones de igualdad y desigualdad, con muy pocas diferencias en los resultados
teniendo en cuenta la edad.
Respecto a las tareas en las que si estaba presente el signo igual (por ejemplo 6+7= 7+6
o 4+2=42), la estrategia relacional de ‘descomponer y componer’ para compensar unas
cantidades con otras se utilizó muy poco, aunque su uso aumentó ligeramente con la
edad. En general, en este trabajo se encontró que los niños más pequeños exhibían una
interpretación operacional del signo igual, a pesar de ser capaces de reconocer
principios básicos de la relación de igualdad en tareas en las que no aparecía este signo.
Según iban avanzando los cursos hasta los 11 años, empezaban a mostrar una
interpretación relacional aunque solo el 25% de los alumnos mayores. Por lo tanto, a
pesar de que los niños eran capaces de reconocer la relación de igualdad y desigualdad,
el signo igual no tenía un significado relacional para ellos en la mayoría de los casos.
Molina (2006) realizó sesiones en las que utilizaba igualdades y sentencias numéricas
para evaluar la comprensión del signo igual en los niños de tercero de Primaria.
Observó cuatro significados del signo igual: ‘operador’, ‘indicador de una acción’,
‘similitud numérica’ y ‘equivalencia numérica’ (p. 436). El significado operador
permitía a los niños evaluar igualdades con operaciones al lado izquierdo del signo igual
(p.e., 12 + 7 = 127), pero no igualdades con operaciones al lado derecho. En sentencias
abiertas los niños tendían a operar sobre los términos de la izquierda, para colocarlo en
el espacio en blando de la derecha (p.e., 12 + 7 = 7 + _, resolvían con el número 26 ya
que operaban sobre todos los número, o la sentencia 8 + 4 = _ +5, que resolvían con el
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Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
número 12 ignorando el término ‘+5’). Con este significado se operaba siempre de
izquierda a derecha. El significado expresión de una acción completa el significado de
operador en el sentido que los niños son capaces de considerar las igualdades de
izquierda a derecha y de derecha a izquierda. Esto último les permite considerar las
operaciones al lado derecho del signo igual, pero realizando los mismos errores que en
el significado operador (p.e., 12 + _ = 7 + 12, resolvían con el número 31 al operar
todos los números, o la sentencia 8 + _ = 5 + 7, resolvían con el número 12 al ignorar
miembros ‘8+’). Otro significado que aparece en el trabajo es el de similitud numérica
en que los niños consideran el parecido de los miembros de las igualdades o sentencias
sin tener en cuenta las operaciones que se realizan sobre las cantidades ni el orden de las
mismas (p.e., 12-7=7-12). Por último, el significado equivalencia numérica permitía
resolver toda clases de igualdades y sentencias numéricas utilizadas en el trabajo.
La autora confirma que a pesar de que el significado de equivalencia numérica es el
adecuado para resolver todas las igualdades utilizadas, los niños utilizan en cada
situación el significado que da sentido a la igualdad o sentencia numérica que se
presenta. De aquí concluye que hay 3 niveles de comprensión del signo igual. El primer
y menos completo sería el nivel de comprensión operacional de los niños en los que
utilizan el significado de operador y expresión de una acción. Un segundo nivel no
estable, en el que en algunas situaciones empieza aparecer el significado el equivalencia
numérica. Y por último, el nivel de comprensión avanzado en el que se hace uso del
significado de equivalencia numérica, aunque en sentencias con operaciones en el lado
izquierdo utilizan el significado operador y en sentencias con operaciones en el lado
derecho, utilizan el significado expresión de acción. El significado similitud numérica
se mostraba de forma puntual. Se pudo observan que incluso niños que se consideraban
en un nivel avanzado de compresión daban como buenas sentencias como a + b = b – a,
posiblemente por estar repetidos los números y no fijarse en las operaciones.
La comprensión de la igualdad en Educación Secundaria
Los resultados de las investigaciones con alumnos de Educación Secundaria son
similares a los hallados en Primaria y además muy poco alentadores, si tenemos en
cuenta la importancia de una comprensión completa del signo igual para el aprendizaje
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Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
del Álgebra. La relación de equivalencia numérica representada por el signo igual es
crucial para resolver problemas y ecuaciones algebraicas y como veremos a
continuación, los estudiantes de Educación Secundaria no ofrecen mejores resultados
que los de Educación Primaria.
Para ver qué significado le dan los estudiantes de secundaria al signo igual, Knuth et al.
(2005, 2006) trabajaron con estudiantes de edades comprendidas entre 11 a 14 años. En
estos trabajos, utilizó la sentencia 3 + 4 = 7, marcando el signo igual con una flecha y
pidiendo a los alumnos el nombre y los significados que conociesen de dicho signo.
Las respuestas tenían que ver con una interpretación operacional, del tipo ‘significa el
total de los números que van antes’ ó ‘significa que después va la respuesta’ (2006, p.
302).
También surgieron respuestas que indicaban una interpretación relacional: ‘los números
de la izquierda son equivalentes a los números de la derecha’ ó ‘las cosas en ambos
lados tienen el mismo valor’ (2006, p. 303).
A pesar de incrementar con la edad el porcentaje de participantes que ofrecía una
interpretación relacional, sólo alcanzó al 46% en los mayores (Knuth, 2005).
Para ver si este resultado estaba relacionado con la resolución de ecuaciones
algebraicas, les pidieron a los mismos estudiantes que dijeran si el número que
corresponde a □ es el mismo número en la ecuación 2 x □ + 15 = 31 y en la ecuación 2
x □ + 15 - 9 = 31 – 9. La comprensión de los estudiantes del signo igual, que se medía
con la tarea mencionada más arriba, estaba asociada a un mayor rendimiento en el
problema de ecuaciones equivalentes. En el trabajo posterior de Knuth et al. (2006)
pidieron a los alumnos que descubrieran el valor de “m” para que la sentencia 4m + 10
= 70 y la sentencia 3m + 7 = 25 fueran verdaderas. En este trabajo las estrategias en las
que probaban con números o despejaban se consideraron estrategias aritméticas,
mientras que las estrategias algebraicas eran aquellas que hacían énfasis en la
equivalencia a ambos lados del signo igual. Como en el trabajo anterior, se encontró una
13
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
fuerte relación entre la interpretación del signo igual y el rendimiento en resolución de
ecuaciones.
A partir de estos resultados, los autores concluyeron que comprender la relación de
equivalencia numérica que representa el signo igual es un aspecto fundamental del
razonamiento algebraico. En consecuencia, tener éxito en Álgebra puede depender del
esfuerzo por mejorar la comprensión de la relación de equivalencia numérica y el
significado del signo igual en los cursos anteriores a su enseñanza.
Por su parte, Essien & Setati (2006), también con estudiantes de secundaria (i.e., 13 a
15 años), exploraron el uso y comprensión del signo igual a través de varias pruebas. En
la primera de ellas, presentaron una serie de sentencias abiertas (p.e., 14x3=_-3; 9-5=_9; 24+_=27+35; 100÷5=_+5) solicitando a los estudiantes que anotaran el número que
faltaba. A continuación, evaluaron la concepción unidireccional del signo, utilizando la
sentencia 5 + 9 = 14 ÷ 2 = 7 x 3 = 21 y los estudiantes tenían que valorar si era correcta
o no. También les pidieron que tradujesen una sentencia verbal del tipo: “tengo 5
manzanas y añado 1 más, después me regalan 2 y entonces tengo 8” en una expresión
matemática (5+1=6+2=8). Finalmente, tenían que resolver ecuaciones mostrando todos
los pasos que seguían (p. e., 4x + 1 = 4x + 4).
Al igual que en los trabajos anteriores, los estudiantes mostraron un sentido operacional
del signo igual (hacer algo, encontrar la respuesta). Esta concepción se ponía de
manifiesto nuevamente en las pruebas en las que se valoraba el sentido bidireccional del
signo igual, lo que les llevaba a operar directamente sobre las cantidades para
determinar el número que faltaba o para averiguar si el resultado de la ecuación era
correcto. Además, observaron una sobregeneralización de algunas propiedades
aritméticas como la conmutatividad.
Posteriormente, Hunter (2007) exploró las estrategias que utilizaban niños de entre 9 y
13 años para resolver sentencias numéricas abiertas del tipo a + b = c + d y a – b = c –
d, siendo la incógnita cualquiera de las cantidades, prestando especial atención a los
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Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
errores y su relación con la comprensión del signo igual. Las estrategias erróneas de
resolución se codificaron como ‘suma directa’ (los estudiantes realizaban la operación
del lado izquierdo del signo igual y ponían el resultado en el espacio en blanco a la
derecha del signo), ‘completar suma’ (realizaban la operación del lado derecho del
signo igual y ponían el resultado en el espacio en blanco en el lado izquierdo) o ‘sumar
todos los términos’ (ponían el resultado en el espacio en blanco) (p. 424). Estos
procedimientos se consideraron estrategias aritméticas, ya que todas ellas conllevan
hacer un cálculo con algunos o todos los números presentes en las sentencias y situarlo
en el espacio en blanco. Por lo tanto, el signo igual fue un claro indicador de ‘realizar
una operación’.
Como estrategias algebraicas o relacionales se observaron estrategias de compensación
en las sentencias numéricas abiertas. Por ejemplo, para resolver la ecuación
73+49=72+_ un estudiante decía ‘73 es uno más que 72 así que yo sé que al compañero
de 72 le tengo que dar uno más que al compañero del 73, por lo tanto, la solución es 50’
(p. 425).
En resumen, la mayoría de los niños, sobre todo los más jóvenes, usaban estrategias que
reflejaban una interpretación operacional del signo igual y, aunque la interpretación
relacional aumentaba con los años, el incremento era muy pequeño.
Algunas explicaciones sobre el origen de las dificultades de
comprensión del signo igual en los alumnos
Como hemos indicado en páginas anteriores, diferentes estudios has puesto de
manifiesto que la falta de una comprensión relacional del signo igual afecta tanto a los
niños de Educación Primaria como a los de Secundaria. En los que sigue, intentaremos
profundizar en el origen de estas dificultades.
De acuerdo con el planteamiento de algunos autores de la psicología del desarrollo
(Mcneil & Alibali, 2005b), los niños que inician la Educación Primaria no están todavía
preparados para aprender los conceptos relacionales. Es precisamente en este momento
cuando pueden adquirir una interpretación operacional del signo igual. Más adelante,
entre los 11 y 14 años poseen las funciones y estructuras cognitivas generales necesarias
15
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
para el aprendizaje de las matemáticas y también el sistema de memoria de trabajo ha
madurado, por lo que entonces están más preparados desde el punto de vista del
desarrollo para poder comprender el significado relacional del signo igual.
Las implicaciones educativas que tiene esta perspectiva sugieren que no debemos
introducir conceptos que los niños no sean capaces de captar. Por lo tanto, la enseñanza
tradicional no estaría mal enfocada en el sentido de que se trabajan procedimientos para
realizar operaciones aritméticas sin profundizar en las relaciones entre las cantidades, lo
que se posterga a la introducción del Álgebra. En la enseñanza tradicional, los
estudiantes se vuelven expertos en la resolución rutinaria de operaciones aritméticas.
Generalmente, son muy hábiles en aplicar estos algoritmos, pero muchas veces no
comprenden los conceptos que subyacen. De hecho, cuando se enfrentan a ecuaciones
con estructuras más complejas que la resolución de una operación aritmética, su
experiencia con expresiones aritméticas de la forma ‘operación = resultado’ influyen en
la interpretación de la información que están recibiendo. Intentan utilizar una estrategia
de resolución que supone un obstáculo en el aprendizaje de un nuevo contexto. Estas
estrategias han funcionado en los contextos aritméticos a los que los estudiantes se han
visto expuestos masivamente, pero no en los contextos algebraicos. Aún así, el alumno
tiene tanta confianza en ellas que la sigue utilizando a pesar de que no consiga el éxito
deseado. En esta línea, McNeil & Alibali (2005b) proponen la hipótesis de la
‘resistencia al cambio’ para explicar el origen de las dificultades que tienen los niños al
resolver las ecuaciones. La hipótesis de “resistencia al cambio” postula que las
dificultades de aprendizaje de las ecuaciones se deben, al menos en parte, a la temprana
y larga experiencia con las operaciones aritméticas (McNeil & Alibali, 2005b). La
excesiva práctica con operaciones aritméticas dificulta el aprendizaje de ecuaciones más
complejas, como pueden ser las sentencias abiertas con operaciones a ambos lados del
signo igual. Por lo tanto, más que una carencia de los niños, se explica por la resistencia
al cambio en los conocimientos que ya tienen. Concretamente, estos autores afirman que
los niños aprenden tres modelos que dificultan su habilidad para aprender ecuaciones
más complejas: ‘realizar todas las operaciones sobre todos los números dados’,
‘operaciones = resultado’ y el signo igual significa ‘el total’ (p. 885). Estos modelos se
adquieren con el aprendizaje de la aritmética. Los niños entre los 7 y 11 años muestran
16
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
una dependencia de estos modelos cuando se encuentra con ecuaciones nuevas y
diferentes a la estructura habitual de una operación aritmética (a + b = _).
McNeil & Alibali (2005b) investigaron la dependencia de los niños en el modelo
operacional. Los participantes eran niños de 8 a 11 años a los que se les planteaban
ecuaciones para medir su adherencia al modelo operacional. Se dividieron en varios
grupos: los niños que recibían instrucción en resolución de ecuaciones y los niños que
no; los que recibían una lección sobre significado del signo igual y los que no.
Finalmente, de nuevo los participantes tuvieron que resolver ecuaciones.
Los resultados apoyaron la hipótesis de la ‘resistencia al cambio’. Cuanto mayor era la
adherencia a los modelos operacionales la probabilidad de aprendizaje tras la
instrucción disminuía. Los niños que no estaban sujetos a ningún modelo operacional
generaban estrategias correctas para resolver las ecuaciones después de las lecciones.
Estos modelos operacionales también parecen estar presentes entre los estudiantes
universitarios. McNeil & Alibali (2005b) pusieron a prueba la hipótesis del modelo
operacional causa dificultades en la resolución de ecuaciones. Para ello, activaron el
conocimiento de los modelos operacionales en los participantes universitarios y
examinaron los efectos en la resolución de ecuaciones. En la fase de activación
presentaron operaciones aritméticas que ponían en marcha el modelo operacional
(operación = respuesta) y el significado del signo igual como el total (por ejemplo,
375+659=_ o 8+7+15+9=_). Los resultados apoyaron la hipótesis de la ‘resistencia al
cambio’. Es decir, cuando se activaban los modelos operacionales los estudiantes tenían
más dificultades con las ecuaciones.
Estos autores sugieren que el conocimiento de modelos operacionales se fija en los
niños a la edad de 8 a 11 años. Antes de esas edades, están en proceso de aprender las
operaciones aritméticas y su conocimiento de los modelos operacionales es débil. Sin
embargo, entre los 8 y los 11 años, los niños siguen practicando procedimientos
aritméticos y su conocimiento de los modelos operacionales se va haciendo fuerte y
robusto, con lo que acaban aplicando estrategias de modo rutinario e inflexible.
17
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
Otra de las causas a las que se atribuye la interpretación inadecuada del signo igual se
refiere a la experiencia que tienen los niños en la escuela elemental con los contextos
que encuentran en los libros de texto y las explicaciones del profesor. En efecto, los
contextos se suelen restringir a expresiones en las que el signo igual aparece como el
resultado de una operación que está a la izquierda del signo, (por ejemplo 2 + 3 = _)
(Carpenter, Franke y Levi,, 2003). Para realizar con éxito esta tarea no es necesario
saber que el signo igual representa una equivalencia entre las cantidades que hay a
ambos lados del signo, basta simplemente con interpretar el signo igual como un
indicador de que hay que operar sobre las cantidades que aparecen en el problema para
obtener la respuesta.
Frecuentemente, los niños encuentran sólo este contexto concreto del signo igual, es
decir, como el resultado de una operación o el total de operar con todas las cantidades.
De esta forma, cuando llegan a la Educación Secundaria, en la que se dedica poco
tiempo al significado del signo igual, aparecen las dificultades para adquirir un
significado relacional
Como hemos visto anteriormente, los alumnos de Secundaria obtenían mejores
resultados en tareas algebraicas si poseían una comprensión relacional del signo igual.
Por esto, parece importante que para asegurar el éxito en el aprendizaje del Álgebra que
los niños adquieran la interpretación relacional del signo igual. Parece importante
buscar contextos que activen y guíen a los estudiantes a una comprensión relacional del
signo igual. Por ejemplo, ¿sería suficiente que los profesores plantearan situaciones
distintas del tipo: 2 + 3 = 1 + 4, 8 = 8, 7 = 3 + 4. Esto supondría ampliar los contextos
en los que aparece el signo igual y ayudaría a darle esa interpretación relacional de
equivalencia. En esta línea, McNeil & Alibali (2005a) comprobaron que el contexto en
el que se presentaban las operaciones en ambos lados del signo igual activaba la
interpretación relacional del signo igual. En un trabajo posterior, McNeil et al. (2006)
plantearon contextos no estándares (8 = 8, ó 7 = 3 + 4) para comprobar si activaban una
interpretación relacional. En el primer experimento, los participantes eran estudiantes de
11 y 14 años. Se les presentaba aleatoriamente uno de los tres contextos siguientes del
signo igual: ‘operación igual respuesta’ (4+3=7), ‘operación en el lado derecho del
18
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
signo igual’ (7 = 3 +4), o ‘relación reflexiva’ (7=7) (p. 376). Les interrogaron acerca del
símbolo y su significado. Encontraron que los estudiantes del contexto ‘operación igual
respuesta’ era menos probable que mostrasen una interpretación relacional del signo
igual que los estudiantes de los contextos no estándares. Estos resultados sugieren que
las ecuaciones no estándares son más efectivas que las ecuaciones ‘operación igual
respuesta’ para activar la comprensión relacional del signo igual. En un experimento
posterior, evaluaron en los mismos estudiantes las interpretaciones del signo igual en
dos contextos: operaciones en ambos lados del signo igual y operaciones al lado
derecho del signo igual. Aquellos que fueron expuestos al contexto de operaciones en
ambos lados del signo igual mostraban más a menudo una interpretación relacional del
signo igual que los estudiantes del contexto operaciones al lado derecho del signo igual.
En resumen, esto sugiere que las ecuaciones con operaciones a ambos lados del signo
igual son más efectivas que otros contextos no estándares (ecuaciones con operaciones a
la derecha del signo igual), para adquirir una comprensión relacional del signo igual.
Desde este mismo enfoque, McNeil et al. (2006) examinaron libros de texto de cuatro
editoriales distintas para ver en qué contextos aparecía el signo igual. En concreto,
evaluaron libros de texto de 6-8 grado (equivalentes a sexto de primaria, primero y
segundo de la ESO), que se usan frecuentemente en Estados Unidos. Los contextos en
los que aparecía el signo igual se clasificaron en ‘operación igual respuesta’ y no
estándares: ecuaciones con operaciones en ambos lados del signo igual (4 + 5 = 3 + 6),
ecuaciones con operaciones en el lado derecho del signo igual (7=3+4), ecuaciones sin
operaciones explícitas en ningún lado (7=7), ‘no ecuaciones’ que comprendían usos de
=, <, > para completar sentencias (1metro=10decímetros, x=y). Se comprobó que el
contexto ‘operación igual respuesta’ decrecía con los cursos en las cuatro editoriales. El
contexto ‘operaciones a ambos lados del signo igual’ aparecía en una proporción muy
pequeña en todos los libros, y aumentaba de forma muy discreta a través de los años. En
cambio, los contextos no estándares, como 6 = 6 ó 7 = 3 + 4, se presentaban
frecuentemente en todos los libros. También observaron que el contexto ‘operación
igual resultado’ se presentaba con más frecuencia en los libros que se basaban en
habilidades de cálculo.
19
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
En resumen, el análisis de los textos mostró que las ecuaciones con operaciones a
ambos lados del signo igual eran muy poco frecuentes en los textos y por lo tanto, no
están bien orientados para despertar una interpretación relacional del signo igual.
La experiencia de los niños con el signo igual no se reduce a los libros de texto. Hay
otros factores que se relacionan con la presentación que hacen los profesores y los
contextos que utilizan para plantear las actividades. Seo & Ginsburg (2003) estudiaron
los libros de textos y los contextos que utilizaba el profesor en un aula a la que asistían
niños de 7 y 8 años. Como en el estudio de McNeil et al. (2006), el análisis de los textos
mostró que la mayoría de las situaciones favorecían una interpretación operacional del
signo igual. Sin embargo, el profesor era consciente de esto y planteaban distintas
situaciones (p.e., comparación de números, 3<4, 5>2, 2 = 2, equivalencia de monedas
1 euro = 100 céntimos). Debido a esto, Seo y Ginsburg se encontraron que los niños
restringían la interpretación operacional a los contextos aritméticos que implicaban
realizar una operación, pero en situaciones de medida y equivalencia de monedas
ofrecían un significado relacional del signo igual. Concluyeron que no parece suficiente
que se presenten a los niños distintos contextos para que desarrollen una concepción
relacional del signo igual. Insisten en la necesidad de trabajar de manera conjunta los
distintos significados que puede tener el signo igual, de manera que la interpretación
relacional no se restrinja a ciertas situaciones sino que se extienda a otras (a + b = _) en
las que habitualmente el signo igual significa el resultado. Molina (2006) realiza un
estudio de los diferentes contextos en los que aparece el signo igual en el contexto de la
Aritmética y Álgebra escolar encontrando hasta once situaciones diferentes. Observa
que los alumnos que parecen que dan un significado relacional al signo igual pueden
estar utilizando y ser conscientes de esta multiplicidad de significados y utilizar,
dependiendo del contexto en el que se encuentre, un significado u otro del signo igual.
20
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
1.3. El desarrollo del pensamiento relacional. La igualdad como
relación
El desarrollo del pensamiento relacional
Teniendo en cuenta lo dicho hasta el momento, parece existir un problema importante
en la instrucción de la Aritmética que dificulta posteriormente la comprensión del
Álgebra. Como respuesta a esta problemática, autores como Carpenter proponen una
instrucción basada en el pensamiento relacional. Según este autor, el aprendizaje de las
matemáticas debería tratarse más como una forma de razonar en la que aprendemos a
generar ideas, a expresar estas ideas con palabras y símbolos, y a evaluar no sólo
nuestras propias ideas sino otras que nos llegan de los demás (Carpenter, Franke y Levi,
2003).
La enseñanza de la Aritmética se basa tradicionalmente en el aprendizaje de algoritmos
sin dar importancia a las propiedades de los números y operaciones aritméticas
involucradas. Sin embargo, estas propiedades son la base de los razonamientos que
necesitamos para resolver ecuaciones algebraicas. Si trabajamos su comprensión desde
el comienzo de la enseñanza de la Aritmética, conseguiremos una base más sólida para
el aprendizaje del Álgebra. Para conseguir esto, el objetivo del aprendizaje debería estar
más centrado en la adquisición de los principios y propiedades básicas, dando la
oportunidad a los niños de razonar sobre sus ideas, comunicarlas y evaluarlas. Esta
forma de trabajo creará una base consistente para el aprendizaje del Álgebra. Si los
alumnos son capaces de articular las propiedades que usan para llevar a cabo cálculos
aritméticos, se aseguran un mayor éxito en el aprendizaje del Álgebra.
Molina (2006) define el pensamiento relacional como la actividad intelectual
consistente en examinar objetos o situaciones matemáticas, considerándolos como
totalidades, detectar de manera espontánea o buscar relaciones entre ellos, y utilizar
dichas relaciones con una intencionalidad, es decir, para alcanzar un objetivo (p. 475).
Cuando aparece en el contexto de la Aritmética y por supuesto del Álgebra consiste en
examinar las expresiones como una totalidad y aprovechar las relaciones entre ellas. En
el contexto de la Aritmética, se puede dar en situaciones de cálculo (p.e., 2 + 3 = _), o
en situaciones que relacione expresiones aritméticas (p.e., a + b = c + d). De esta
21
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
manera construimos estrategias de forma flexible en las que el centro de atención son
las relaciones y elementos claves de nuestra situación o problema matemático. Un
ejemplo de estrategia basada en pensamiento relacional es la conocida como ‘el paso del
diez’ (9 + 5 lo transformo en 9 + 1 + 4 = 10 + 4 = 14 ya que es más sencillo sumar un
número a 10), que es una estrategia de cálculo flexible. Otro ejemplo de uso del
pensamiento relacional es la estrategia para considerar si la sentencia 4 + 8 = 5 + 7 es
verdadera, en la que se pone uno más al 4 y se la quito al 8 y por lo tanto queda 5 y 7 en
el otro lado del signo igual. El uso de pensamiento relacional no implica realizar los
cálculos a ambos lados del signo igual, basta con ver la sentencia numérica como un
todo y utilizar propiedades de las operaciones para poder concluir.
Por tanto, centrar la atención en las propiedades de las operaciones, transformar
sentencias con operaciones y detectar cómo estas transformaciones afectan a las
operaciones que contienen las sentencias se relaciona con la propuesta de trabajo
relacional. Se favorece así el aprendizaje significativo de la Aritmética. Con el
pensamiento relacional, las actividades pasan de tener un enfoque procedimental,
centrado en el cálculo de respuestas a un enfoque estructural, centrado en examinar
relaciones (Molina, 2009, p. 143)
La propuesta de llevar a cabo una instrucción en la que se trabaje una forma de razonar
las matemáticas distinta a la tradicional, donde los niños se dedican a razonar,
comunicar y evaluar las estrategias de resolución de operaciones aritméticas, ha sido
puesta en práctica por Carpenter et al. (2003, 2005). Si los alumnos se basan en las
propiedades de los números y propiedades de las operaciones para resolver ecuaciones,
incluso aplicarlo a la resolución de un problema matemático, estarán trabajando el
pensamiento relacional. Carpenter (2005) muestra dos ejemplos de instrucción en la que
dos alumnos adquieren el concepto de la propiedad distributiva y son capaces de
aplicarlo a distintas situaciones basándose en el pensamiento relacional. La habilidad
matemática no supone solo fluidez de cálculo, también implica la comprensión. Cuando
aprendemos procedimientos de memoria sin comprensión, se olvidan fácilmente y
además se mezclan los pasos que se realizan en un algoritmo con los de otro. Los
estudiantes que utilizan pensamiento relacional están usando un conjunto relativamente
22
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
pequeño de principios fundamentales de matemáticas para establecer relaciones. El
pensamiento relacional conduce al aprendizaje con comprensión.
La igualdad como relación
En los trabajos consultados se observa que los términos igualdad y equivalencia se
utilizan para hacer referencia al signo igual, lo que marca la complejidad de la
comprensión del signo igual. El término equivalencia hace referencia a las relaciones
binarias que cumplen las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva y el término
igualdad se utiliza ‘para denominar al modo gráfico de relacionar en la escritura dos
expresiones o representaciones que se refieren a un mismo objeto matemático,
escribiendo entre ellas un signo igual, así como a la relación existente entre ellas’
(Molina, 2006, p.244).
El signo igual representa la relación `de equivalencia numérica’. En igualdades
numéricas simboliza la equivalencia numérica entre las expresiones que se encuentran
en los dos lados del signo igual.
En el apartado 1.2 hemos mostrado algunos trabajos donde se veía que los estudiantes
adquirían un significado incompleto del signo igual. La mayoría utilizaban dos tipos de
tareas para valorar el significado que tiene el signo igual para los estudiantes. Unas
veces recurrían a sentencias en las que los niños tienen que decir si son verdaderas o
falsas, si cumplían la igualdad entre los dos términos que hay a ambos lados del signo
igual, como por ejemplo, 5 + 3 = 4 + 4 (Morris 2003, Knuth 2005 y 2006). Otras veces
utilizaban sentencias abiertas, en las que aparecía un espacio que los niños debían
completar. Estas expresiones son del tipo a + b = _ + d, _ = a + b, a + _ = b + c.
Expresiones de este último tipo se han utilizado en muchas investigaciones (Behr,
Erlwanger y Nichols, 1980; Carpenter, 2003; Essien & Setati 2006; Hunter, 2007;
Molina, 2009). Hemos visto que los niños utilizan distintas estrategias dependiendo de
la interpretación que tuviera signo igual. Por ejemplo, cuando se presentaba una
sentencia abierta como 3 + 4 = _ + 5, el niño que da el valor 7 al espacio en blanco,
seguramente ha adquirido una interpretación operacional del signo igual. Otro niño
resuelve el problema sumando 3 + 4, que son 7, entonces, en el otro lado hay 5 y para
llegar a 7 le faltan 2, por lo tanto, la solución es 2. Un tercer niño, observa que en un
23
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
lado hay 4 y en el otro lado hay un 5. Si 5 en uno más que 4, al 3 le quita 1 para que los
dos lados del signo igual sean la misma cantidad, es decir, 2. Las dos últimas
estrategias entienden el signo igual como la equivalencia numérica de las expresiones
que hay a ambos lados del signo igual, pero la última, en la que no necesita realizar el
cálculo de las operaciones en los dos lados, en la que sólo se trata de equilibrar la
ecuación, se puede observar pensamiento relacional, pues trata la igualdad en su
totalidad.
En el caso de sentencias de verdadero y/o falso, Carpenter (2003), propone una
secuencia de expresiones en la que primero se muestra el contexto estándar de una
operación aritmética (a + b = c) y luego se van presentando contextos no estándares (a =
b + c, a = a, a + b = a + b, a + b = c + d). En la metodología de trabajo que propone
estos autores, los alumnos deberían expresar sus ideas y discutirlas con los demás
compañeros. De esta forma se pueden ir mostrando las expresiones anteriores,
preguntando a los niños si son verdaderas o falsas y por qué. En esta secuencia, solo la
primera sentencia es familiar ya que tiene la operación al lado izquierdo del signo igual
y la solución al lado derecho. Muchos alumnos que todavía no hayan adquirido la
comprensión del signo igual como indicador relacional, no estarán conformes con las
ecuaciones no estándares. En estas actividades es muy importante la interacción entre
los alumnos, que escuchen las explicaciones de los demás porque les ayuda a razonar
sobre sus propias ideas.
La misma secuencia se podría seguir para sentencias numéricas abiertas, preguntando
qué número hay que poner en el espacio en blanco (por ejemplo, a + b = _ ; a + _ = c; a
= b + _; _ = a + b; a = _; a + b = _ + b; a + b = _ + d).
Los ejemplos mencionados proporcionan a los niños contextos para adquirir el concepto
de relación de igualdad del signo igual. Como hemos visto en el apartado anterior, las
ecuaciones a ambos lados del signo igual, las identidades como 8 = 8, son contextos no
estándares que favorecen la comprensión relacional del signo igual.
Carpenter et al. (2003) proponen una secuencia de pasos para la correcta comprensión
del signo igual con los niños, aunque afirman que no todos los niños pasan
necesariamente por todos ellos. Primero hay que saber la concepción del signo igual que
24
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
tienen los niños, procurando además que sean capaces de articular su interpretación.
Para esta tarea se pueden utilizar sentencias numéricas abiertas o sentencias
verdadero/falso. El segundo paso se alcanza cuando los niños admiten como correctas
sentencias que no sean de la forma a + b = c, como por ejemplo, a = b + c, a = a, a + b =
b + a. El tercer paso es que reconozcan el signo igual como expresión de una relación
entre dos números iguales. En este paso los niños hacen cálculos con los números de
ambos lados del signo igual. Al final, ya no realizan cálculos sino que utilizan
propiedades de los números y de las operaciones para resolver el problema.
El trabajo que distintos tipos de igualdades favorece la adquisición de un buen
significado del signo igual. En el trabajo de Molina (2006, 2009), estudiantes de tercero
de Primaria eran sometidos a una series de sesiones en los que se les proponía
actividades con sentencias de verdadero o falso. En las primeras sesiones los alumnos
tendían a resolver con cálculos, pero a partir de la tercera sesión aumentaba el número
de estrategias basadas en pensamiento relacional.
En resumen, para alcanzar un buen significado del signo igual los profesores deberían
enfocar sus clases intentando desarrollar el pensamiento relacional, presentando los
problemas y situaciones aritméticas y algebraicas de una forma global, realizando
transformaciones sobre las sentencias numéricas que se plantean aunque respetando
siempre las propiedades de las operaciones aritméticas. Esto se consigue proponiendo
una variedad de contextos para que los niños no adquieran únicamente el significado
operacional del signo igual, e integrando los distintos significados que los estudiantes le
asignan en los distintos contextos en uno sólo como símbolo relacional. Los profesores
deberían plantear actividades en este sentido y vigilar el significado que sus alumnos le
dan al signo igual en clase, para poder suministrar la asistencia necesaria en el caso de
no conseguir la interpretación relacional global del símbolo.
25
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
2. CAPÍTULO 2: MARCO EXPERIMENTAL
2.1. Objetivos e hipótesis del estudio
El objetivo principal de este trabajo es realizar una revisión de algunos libros de textos
de Matemáticas de Primer Ciclo de Educación Primaria, para ver en qué contextos
encuentran nuestros alumnos el signo igual al comienzo de su formación.
En el Primer Ciclo de Primaria se introducen las operaciones aritméticas por lo que se
corre el riesgo de utilizar el signo igual como indicador de que hay que efectuar una
operación. Esto puede provocar, como ya hemos insistido en la parte teórica, que los
niños adquieran en los primeros años de escolaridad una interpretación operacional del
signo igual. La comprensión y el significado que den los niños al signo igual desde el
comienzo pueden ser decisivos en un aprendizaje exitoso en matemáticas. Como hemos
tenido ocasión de ver, si adquieren una interpretación incompleta del signo igual desde
principio, resulta difícil después desprenderse de ella. Esta situación puede complicarse
aún más al final del primer ciclo cuando empiezan a trabajar las propiedades de las
operaciones aritméticas. El signo igual aparece en sentencias en las que una
interpretación operacional no permitiría la comprensión de dichas propiedades. Por
ejemplo, si los niños se encuentran con 2 + 3 = 3 + 2, esta sentencia será errónea para
ellos, ya que sobraría ‘+2’ en caso de tener adquirida una comprensión operacional del
signo igual.
En definitiva, vamos a evaluar los contextos en los que se presenta el signo igual en los
libros de texto a nuestros estudiantes, para deducir si el significado que se le va dando al
signo igual a lo largo de los cursos ayuda a que los niños sean capaces de adquirir una
comprensión adecuada de dicho signo.
Teniendo en cuenta esto, nuestras hipótesis son las siguientes:
1. El signo igual aparecerá principalmente en contextos aritméticos frente a los no
aritméticos, ya que uno de los principales contenidos del currículo del Primer
Ciclo de Primaria es la introducción de las operaciones aritméticas.
26
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
2. La mayoría de los contextos en los que va a aparecer el signo igual serán de la
forma aritmética canónica, es decir, encontraremos una operación aritmética al
lado izquierdo del signo cuya solución se colocará a la derecha (i.e. 2 + 3 = 5).
3. En general, basándonos en los estudios previos, se espera una gran cantidad de
situaciones en las que el signo igual funcione como operador.
27
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
2.2. Metodología
Materiales
Se utilizarán los libros de texto de cuatro de las editoriales utilizadas en los Centros de
Educación Primaria de la Comunidad de Madrid. Para ello, seleccionamos los últimos
proyectos o series que se han editado en cada una de las editoriales (ver Tabla 1) y
como ya hemos mencionado, el estudio se centrará en Primer Ciclo de Primaria.
TABLA 1: Editoriales y proyectos de los libros de texto analizados.
Editorial
Proyecto
Curso
Año
Vicens Vives
Mundo de Colores
1º y 2º
2008, 2009
Anaya
Salta a la vista
1º y 2º
2007
SM
Trampolín
1º y 2º
2007
Bruño
Lapiceros
1º y 2º
2008
Procedimiento
Realizaremos un estudio cualitativo, analizando y describiendo los diferentes contextos
en los que aparece el signo igual en algunos libros de texto.
Basándonos en los estudios previos (McNeil et al., 2006, Seo & Ginsburg, 2003) hemos
elaborado una clasificación de los posibles contextos en los que puede aparecer el signo
igual.
1) Contextos Aritméticos.
a) Contexto Aritmético Canónico:
i) Operación igual resultado. Encuadraremos aquí sentencias del tipo a + b =
c pudiendo ser la incógnita cualquiera de las cantidades (i. e., a, b o c), y la
operación suma, resta, multiplicación, incluso división ya que al final de
Segundo Curso de Primaria hay editoriales que la introducen.
28
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
b) Contextos Aritméticos no Canónicos:
i) Operaciones en ambos lados del signo igual. En este caso, se incluyen
sentencias con la misma operación en ambos lados del signo igual (p.e. a
+ b = c + d), o con diferente operación en ambos lados del signo igual
(p.e. a × b = a + a + a (b veces)). En segundo de Primaria se estudian las
tablas de multiplicar que en su definición se introducen como una suma
reiterada (i.e., 2 + 2 + 2 = 3 ×2) y los recogeremos en este ítem.
ii) Resultado igual operación: a = b + c, pudiendo ser la incógnita cualquiera
de las cantidades (i.e., a, b o c) y la operación suma, resta, multiplicación y
división.
2) Contextos no Aritméticos.
a) Comparación de cantidades: a = a.
b) Contextos de medida: p.e., 1 metro = 10 decímetros o 1 regleta roja = 2 regletas
blancas.
c) Contextos de equivalencia de monedas: p.e., 1 euro = 100 céntimos.
d) Sistema numérico decimal: p.e., 400 unidades = 4 centenas.
e) Otros contextos no aritméticos: p.e., a = 1.
Esta clasificación separa los contextos aritméticos de los no aritméticos. El análisis de
los contextos no aritméticos permitirá estudiar si existen situaciones en los libros de
texto en las que los niños tienen la oportunidad de dar un significado relacional al signo
igual (i. e.; el de medida y la equivalencia de monedas como vimos anteriormente en el
trabajo de Seo y Ginsburg). Los contextos aritméticos ayudarán a su vez a deducir si los
libros de texto favorecen un sentido operacional o relacional al signo igual en
situaciones aritméticas. Por ejemplo, como vimos en el trabajo de McNeil (2006), el
contexto ‘operaciones a ambos lados del signo igual’ ayuda a dar un sentido relacional.
Teniendo en cuenta que en una misma página de un libro pueden aparecer distintas
expresiones y por lo tanto, distintos contextos del signo igual, hemos analizado por
29
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
separado cada una de esas situaciones. Del mismo modo, si en un ejercicio se repite
varias veces, hemos tomado todas y cada una de esas veces porque incluso dentro de
cada ejercicio puede variar el contexto.
En una primera revisión, analizamos el número de páginas del libro en las que aparecía
el signo igual (ver Tabla 2) y como no era excesivo se decidió analizarlas todas.
TABLA 2: Número de páginas en las que aparece el signo igual.
Curso
1
Editorial/proyecto
Nº páginas con
% páginas con
signo igual
signo igual
195
63
32%
Anaya – Salta a la vista
199
50
25%
SM – Trampolín
192
54
28%
Bruño
190
27
14%
Vicens Vives – Mundo de
193
71
37%
Anaya – Salta a la vista
207
74
36%
SM – Trampolín
207
66
32%
Bruño
190
37
20%
Vicens Vives – Mundo de
Páginas
Colores
2
Colores
30
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
2.3. Resultados y análisis
Los resultados muestran que el signo igual se utiliza en contextos aritméticos con más
frecuencia que en contextos no aritméticos (ver Tabla 3). Todas las editoriales utilizan
el signo igual en más de un 90% de las ocasiones en expresiones aritméticas. Sólo en la
editorial Anaya no alcanza este porcentaje en segundo curso, que como veremos más
adelante, se debe al gran uso de las relaciones de equivalencia del sistema numérico
decimal. En todas las editoriales disminuye levemente la utilización de los contextos
aritméticos en segundo curso, excepto en la editorial Bruño, aunque las diferencias entre
primero y segundo en todos los casos son pequeñas.
TABLA 3: Porcentaje de contextos aritméticos y no aritméticos.
Curso
1
2
Libro de Texto (Editorial)
Contexto
Contexto no
Aritmético
Aritmético
Vicens Vives – Mundo de Colores
97,58
2,42
Anaya – Salta a la vista
93,03
6,97
SM – Trampolín
95,85
4,15
Bruño – Lapiceros
95,63
4,37
Vicens Vives – Mundo de Colores
96,84
3,16
Anaya – Salta a la vista
86,26
13,74
SM – Trampolín
94,63
5,37
Bruño - Lapiceros
96,76
3,24
En el Primer ciclo de Primaria se introducen las operaciones aritméticas, la suma y la
resta en el primer curso, y la multiplicación y en algunos casos la división en el segundo
curso. Por lo tanto, se puede observar en todas las editoriales listados de actividades en
las que aparece el contexto canónico ‘operación igual resultado’ con alguna de las
cantidades como incógnita (ver Figura 1).
31
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
FIGURA 1: Páginas con actividades sobre operaciones aritméticas de la editorial SM y
Bruño.
Comenzaremos nuestro análisis por los contextos aritméticos y a continuación los no
aritméticos.
Contextos Aritméticos
En la Tabla 4 se recoge los porcentajes de cada uno de los contextos aritméticos por
curso y editorial. El contexto operación igual resultado es con diferencia el más
frecuente. La editorial Vicens Vives destaca por la utilización del signo igual en esta
forma en los dos cursos, seguida de la editorial SM.
32
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
TABLA 4: Porcentajes de los distintos contextos aritméticos.
SM
1º
ANAYA
2º
BRUÑO
VICENS VIVES
1º
2º
1º
2º
1º
2º
93,43
86,58
84,43
69,53
61,88
85,98
96,54
96,67
1,39
0
0
3,43
0
2,88
0
0
operación
0
6,88
0
8,58
0
0
0
0
TOTAL
1,38
6,88
0
12,02
0
2,88
0
0
1,04
1,18
8,61
4,72
33,75
7,91
1,04
0,18
Operación = resultado
Operación
misma
ambos lados(*)
operación
distinta
Resultado = Operación
(*) En el contexto operación en ambos lados hemos separado las situaciones en las que las operaciones
que aparecían a ambos lados eran del mismo tipo (i.e., las dos sumas), o si eran de distintos tipo (i.e., una
suma y la otra multiplicación).
En general, parece que dicho contexto disminuye de primer curso a segundo excepto en
la Editorial Bruño. El porcentaje del contexto canónico en primer curso es menor debido
a la aparición del signo igual en el contexto no canónico resultado igual operación en
las últimas páginas que se relaciona con el cálculo mental (ver Figura 2). El ejercicio de
la forma 5 = 4 + ? utiliza el signo igual, y sin embargo, los ejercicios del tipo 1 + 2 no lo
utilizan, por lo que, aunque aparecía con más frecuencia la expresión a ± b, al no estar
presente el signo igual, se dispara el porcentaje del contexto que tiene la operación a la
derecha.
33
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
FIGURA 2: Páginas con ejercicios de cálculo mental del libro de primero de Ed.
Bruño.
El uso del signo igual en la calculadora también se ha incluido en este contexto. Cuando
realizamos un cálculo marcamos la operación y seguidamente el signo igual como
indicador de buscar el resultado, lo que implica un contexto operacional para el signo
igual. Este uso se puede encontrar en los dos cursos de la editorial Vicens Vives y en el
segundo curso de la editorial Bruño (Figura 3).
34
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
FIGURA 3: Calculadora en Bruño y Vicens Vives.
En un número mínimo de ocasiones aparecen expresiones de la forma operación igual
resultado utilizando objetos como sumandos (ver Figura 4). Por ejemplo, en la editorial
de Vicens Vives utilizan un objeto que será una incógnita a la que habrá que darle un
valor. O incluso, hay una actividad (ver Figura 4) en la que parece tres igualdades con
varias figuras en los sumandos, en las que hay que averiguar el valor de todas las
figuras, como en un sistema de ecuaciones algebraicas.
35
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
FIGURA 4. Contextos aritméticos canónicos con imágenes en la editorial Vicens Vives.
El hecho de que hayamos encontrado un alto porcentaje de páginas en los libros de texto
en las que aparece el signo igual en la forma aritmética canónica coincide con lo visto
en los trabajos anteriores. McNeil et al. (2006) encontraron que el contexto más
frecuente era el contexto operación igual resultado, que coincide con lo aquí obtenido.
Un contexto importante para adquirir una interpretación relacional del signo igual según
los estudios previos es el que tiene operaciones en ambos lados del signo igual (p.372).
En la Tabla 5 aparecen los porcentajes de presentaciones de este contexto respecto al
total de cada libro. De nuevo encontramos que este contexto aparece un número muy
bajo de veces, a pesar de ser el contexto que más favorece la adquisición de un
significado relacional del signo según McNeil et al. (2006), entre otros.
36
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
TABLA 5: Porcentaje de contextos ‘operación a ambos lados del signo igual’ respecto
al total de contextos.
Libro de texto
1º
2º
Vicens Vives – Mundo de Colores
0
0
Anaya – Salta a la vista
0
12,02
SM – Trampolín
1,38
6,88
Bruño -Lapiceros
0
2,88
Señalar en este punto que en el segundo curso se introducen las tablas de multiplicar, y
la gran mayoría de los contextos con operaciones a ambos lados del signo igual eran del
tipo ‘a + a + a + a = 4 × a’. Las editoriales Vivens Vives y Bruño explican las tablas de
multiplicar exponiendo en una igualdad la suma reiterada con el resultado (p.e., 3 + 3 +
3 = 6) y en otra igualdad el producto (p.e., 3 × 2 = 6) como se puede ver en la Figura 5,
por lo tanto el contexto con operaciones diferentes en ambos lados del signo igual no
aparece.
Sin embargo, las editoriales Anaya y SM utilizan la igualdad entre la suma reiterada y el
producto del número de veces que se suma el número (Figura 6). Por esta razón el
porcentaje de apariciones de este contexto es mayor.
37
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
FIGURA 5: Multiplicación en Vicens Vives.
FIGURA 6: Multiplicación en Anaya y SM.
38
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
La editorial Anaya recurre también al contexto operaciones en ambos lados del signo
igual’ en la definición de las propiedades conmutativa y asociativa (ver figura 7).
FIGURA 7: Propiedades conmutativa y asociativa en Ed. Anaya.
En el libro de primero de SM se muestran sentencias que los estudiantes deben
completar para adquirir la propiedad conmutativa (Figura 8).
39
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
FIGURA 8: Propiedades conmutativa en Ed. SM en primero.
En la Editorial Bruño aparece en dos ocasiones una expresión clara de utilización
unidireccional del signo igual (figura 9). Este contexto no lo podemos considerar como
operación en ambos lados del signo igual ya que en la sentencia 5 + 7 = 12 + 8 = _ + 9
= _ + 5 = _, el signo igual no significa que el valor de la operación de la izquierda sea
igual al valor de la operación de la derecha. Lo que realmente se está utilizando es el
contexto operación igual resultado concatenado varias veces.
40
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
FIGURA 9. Concatenación de ‘operación igual resultado’ en 1º de Ed. Bruño.
Otro de los contextos que más favorecen interpretación relacional del signo igual es el
contexto aritmético resultado igual operación según lo anterior. Los porcentajes
obtenidos están recogidos en la Tabla 6.
Todas las editoriales no superan un 10% de este tipo de contextos excepto la editorial
Bruño. Como hemos comentado, el libro de primero de la editorial Bruño presenta un
porcentaje más alto que el resto de las editoriales en el contexto resultado igual
operación. Esto es debido a la presentación de unas actividades para ejercitar el cálculo
mental en las últimas páginas de libro, aparecen ecuaciones del tipo ‘a = b + _’. (Figura
2).
El resto de editoriales utiliza este contexto para descomponer números en decenas y
unidades, es decir, en actividades de descomposición del sistema numérico decimal.
(Figura 10).
41
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
TABLA 6: Porcentaje de ‘operación al lado derecho’ respecto al total de contextos.
Curso
Libro de texto
Operación lado
derecho
1
2
Vicens Vives – Mundo de Colores
1,04
Anaya – Salta a la vista
8,60
SM – Trampolín
1,04
Bruño – Lapiceros
33,75
Vicens Vives – Mundo de Colores
1,18
Anaya – Salta a la vista
4,72
SM – Trampolín
1,18
Bruño - Lapiceros
7,91
FIGURA 10: Contexto ‘resultado igual operación’ en actividades del sistema numérico
de Ed. Bruño.
42
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
En resumen, en los contextos aritméticos, el que más aparece en todos los libros de
texto es la forma ‘operación igual resultado’ (McNeil et al., 2006, p. 372), que lleva a
una interpretación operacional según hemos visto en el marco teórico.
Contexto no Aritméticos
Por lo que se refiere a los contextos no aritméticos, Seo & Ginsburg (2003) concluyeron
que este tipo de contextos ayudaba a los niños a construir un significado de equivalencia
numérica del signo igual. En la Tabla 7 se pueden observar los porcentajes en los que
aparece el signo igual en ese contexto, respecto al total en cada libro. Como se puede
observar, en ninguno de los libros analizados los porcentajes son altos. El más
destacado es el de la editorial Anaya, en segundo curso, en el apartado correspondiente
al Sistema Numérico Decimal.
TABLA 7: Porcentaje de los distintos contextos no aritméticos respecto al total.
Curso
Libro de texto
Comparación
Medida
Monedas
Sistema
Otros
decimal
1
Vicens Vives – Mundo
1,04
0
0
1,04
0
Anaya – Salta a la vista
0
0
0
3,69
3,28
SM – Trampolín
3,46
0
0
0,69
0
Bruño – Lapiceros
0,63
0
3,75
0
0
Vicens Vives – Mundo
0
0,35
0,18
1,93
0,70
Anaya – Salta a la vista
0,29
2,58
0,29
10,44
0,14
SM – Trampolín
0,17
2,01
0,17
3,02
0
Bruño - Lapiceros
0,36
0,72
1,44
0,36
0,36
de Colores
2
de Colores
43
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
En la Editorial SM, la primera aparición del signo igual se produce en el contexto no
aritmético, simplemente define los signos = y ≠ para comparar cantidades sin
operaciones aritméticas. En Bruño y Vicens Vives también proponen algunas
actividades para diferenciar las relaciones de igualdad, mayor que y menor que (Figura
11). Estas actividades las englobamos en el contexto de comparación y, como podemos
observar en la tabla 7, obtienen un porcentaje muy bajo.
FIGURA 11. Definición de la relación de igualdad representada por el = en SM, Bruño
y Vicens Vives.
Los contextos no aritméticos relacionados con la medida, apenas aparecen y tan solo se
muestran algunos ejemplos con gráficos e imágenes que representa estas unidades y sus
equivalencias (Figura 12).
44
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
FIGURA 12. Medida en 2º de SM.
La equivalencia de monedas tampoco suele estar presente y la única referencia se
produce en la editorial Bruño (Figura 13).
FIGURA 13. Equivalencia de monedas en 1º de Ed. Bruño.
45
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
Con respecto al Sistema Numérico Decimal, las equivalencias expresadas en unidades,
decenas y centenas resultan escasas (ver, figura nº 14). En el libro de segundo curso de
la editorial Anaya aparecen con un porcentaje de poco más del 10% equivalencias de
cantidades expresadas en unidades, decenas y centenas. Las demás editoriales no
superan ninguna un 3,7% en ninguno de los cursos. Este contexto debe ser habitual en
los libros de primer ciclo pues es cuando se introduce el concepto de decena, centena y
millar.
FIGURA 14. Sistema decimal en 2º de SM y Anaya.
Por último, aparecen igualdades del tipo a = 1. Estos los clasificamos en ‘otros
contextos no aritméticos’ (ver Figura nº 15).
46
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
FIGURA 15. Otros contextos no aritméticos en 1º de ANAYA.
47
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
2.4. Conclusiones
Los resultados obtenidos confirman la hipótesis de que la mayoría de las veces en las
que aparece el signo igual en los libros de texto se produce en contextos aritméticos.
Profundizando en estos contextos, los estudiantes del primer ciclo de Educación
Primaria encuentran el signo igual en el contexto aritmético operación igual resultado
mucho más frecuentemente que en los demás. Como hemos visto en la primera parte de
nuestro trabajo, este contexto favorece el significado de operador del signo igual lo que
les impide alcanzar una comprensión completa de la relación que representa dicho
signo. Por el contrario, los contextos en los que aparecen las operaciones en ambos
lados del signo igual o la operación al lado derecho apenas están presentes. Sin
embargo, en los trabajos de McNeil et al. (2006) hemos tenido ocasión de ver que son
estos contextos los que ayudan a los estudiantes a adquirir una interpretación relacional
del signo igual.
También hemos observado que hay muy pocos contextos no aritméticos como la
equivalencia de monedas, medida y comparación de cantidades, que según los trabajos
de Seo & Ginsburg (2003) ayudan a percibir ese significado de relación de equivalencia
numérica que tiene el signo igual.
Hemos encontrado incluso un uso indebido del signo igual en el que se concatenan
varios cálculos aritméticos, lo que como vimos en los trabajos de Berh et al. (1980)
conlleva a un uso unidireccional del signo igual y por tanto, una vez más un significado
incorrecto del signo igual.
Como conclusión, los contextos que encontramos en los libros del primer ciclo de
primaria favorecen una interpretación operacional del signo igual, lo que podría
implicar una dificultad a la hora de adquirir un significado equivalencia numérica del
signo igual. Esta comprensión como operador que parece provocar los libros de texto
en primero de Primaria corre peligro de obstaculizar el aprendizaje de un significado
más completo si no se expone a los alumnos a situaciones más variadas de uso del signo
igual. Una instrucción basada en contextos que dan una imagen de operador del signo
igual puede suponer problemas a la hora de extender su significado. No obstante, la
48
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
información que llega a los niños no depende sólo de los libros de texto. En la
instrucción
las
actividades
planteadas
por
el
profesor
y otros
materiales
complementarios que se utilizan en el aula, pueden mostrar otra imagen diferente del
signo.
En trabajos posteriores, comprobaremos si en los cursos sucesivos los contextos que
aparecen en los libros de texto siguen reforzando el sentido operacional del signo o por
el contrario, se presentan contextos que favorezcan una interpretación relacional.
Además, analizaremos los materiales complementarios de aula y las actividades que
proponen los profesores. El conjunto de todos estos factores dará una información más
completa de la presencia del signo igual en la instrucción de las Matemáticas, trabajo
que esperamos constituya una parte de lo que en el futuro será la Tesis Doctoral.
49
Interpretaciones del Signo Igual. Un Estudio de Libros de Texto.
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