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Lugar de las raíces

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Lugar de las raíces
10
Análisis
dinámico.
Técnicas del lugar de Raíces (LDR)
La respuesta del régimen transitorio de un sistema de control en cadena cerrada,
tipo SISO-LTI, depende de la ubicación de los polos del lazo cerrado. Por dicho motivo
y con el propósito de conocer los polos de la cadena cerrada, sin calcularlo
analíticamente, se presenta una técnica gráfica que exhibe su colocación en el dominio
complejo, a partir de la información de la cadena abierta. Debe de quedar claro, desde el
principio, que esta metodología sólo se puede aplicar para estructuras de realimentación
negativa. Su importancia actual no es tanta por evitar la carga matemática de calcular
las raíces del polinomio característico, como el de ajustar el punto de funcionamiento de
estos sistemas mediante la variación de algún parámetro intrínseco, en general, la
ganancia estática. Por tanto, la técnica
del lugar de raíces muestra las infinitas
soluciones del polinomio característico
X(s) + E(s)
Y(s)
de la cadena cerrada, 1+G(s)H(s), a
G(s) •
k
través de una representación gráfica en
el dominio complejo, empleando sólo
la información de los polos y ceros de
H(s)
la cadena abierta.
Como se acaba de comentar, la
peculiaridad de este análisis no está en
la resolución gráfica de los polos de la
Figura 10. 1. Esquema de aplicación del LDR
Dpto. Electrónica, Automática e Informática Industrial
207
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
Apuntes de Regulación Automática
cadena cerrada, sin necesidad de cálculo; la gran ventaja que ofrece es visualizar cómo
se modifica el comportamiento dinámico del lazo cerrado, al realizar una variación de
algún parámetro intrínseco de la planta.
El método del lugar de las raíces, LDR, consiste en un conjunto de reglas
mediante las cuales se puede determinar la posición de los polos de la cadena cerrada,
cuando uno o varios parámetros de la FDT del sistema, en bucle abierto, varían desde
-∞ a +∞. Normalmente este parámetro suele ser un módulo de ganancia estática, k.
La representación gráfica da una idea sobre la estabilidad, precisión y la
naturaleza de la repuesta transitoria al variar k. Estrictamente hablando, se suele
denominar como lugar directo de las raíces, al trazado del LDR variando la ganancia en
valores positivos, k ≥0, y se llama lugar inverso cuando la variación de la ganancia es
negativa, k ≤0. Si lo que se varía es una constante de tiempo asociado a un polo o un
cero de la cadena abierta se llama el contorno de las raíces. En este temario, sólo se
expondrá la variación de la ganancia. Para un estudio sobre el contorno de las raíces
habrá de recurrir a la bibliografía recomendada.
10.1 Ecuación básica del Lugar de las Raíces
Las soluciones o raíces del polinomio
característico
de
una
estructura
de
realimentación negativa, se obtiene igualando
el denominador a cero:
G (s )
M (s ) =
1 + G (s )H (s )
X(s)
+
E(s)
Y(s)
G(s)
•
H(s)
Figura 10. 2. LDR aplicable a estructuras de
realimentación negativa
Los polos de la cadena cerrada estarán
definidos por:
1 + G (s )H (s ) = 0
G (s )H (s ) = −1
Dado que G(s)H(s) es una expresión compleja se puede dividir en dos
ecuaciones, la primera correspondiente al módulo y la segunda la relacionada con el
argumento:
G (s )H (s ) = 1
arg(G (s )H (s )) = π (2q + 1) q = 0,±1,±2,...
(10. 1)
Los valores del dominio complejo, s, que cumplan ambas ecuaciones serán polos
de la cadena cerrada de esa estructura. El criterio del argumento avalará la pertenencia
de polo de la cadena cerrada, mientras la condición de módulo devolverá el valor del
208
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Apuntes de Regulación Automática
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
parámetro intrínseco, normalmente k, para aquellos puntos del dominio que son
solución del polinomio característico.
Empleando el ejemplo genérico de la figura 10.3 se pretenderá primeramente
determinar si dado un punto s arbitrario pertenece o no al LDR. Por tanto, se aplicará el
criterio del argumento:
Figura 10. 3. Ejemplo de aplicación del LDR
arg(G (s )H (s )) = α 1 − (β 1 + β 2 ) = 180(2q + 1)
d3
β2
X
s=-c
d2
d1
α1
O
s=-a
β1
X
s=-b
q = 0,±1,±2,...
(10. 2)
Si la igualdad es cierta, el punto arbitrario s es
solución del polinomio característico. En caso contrario,
no será un polo de la cadena cerrada. El criterio del
módulo determinará el valor de k para este ejemplo.
Empleando el cálculo de los módulos, los cuales coincide
con la distancia euclídea entre los polos y ceros de la
cadena abierta con el polo de la cadena cerrada
seleccionado, se fijará el nivel de k:
k
sp + a
sp + b sp + c
k=
=1
sp + b sp + c
sp + a
=
d2 ⋅ d3
d1
Afortunadamente, el trazado del lugar de las raíces no requiere de la búsqueda
exhaustiva de puntos, sino que sigue una serie de reglas.
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209
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
Apuntes de Regulación Automática
10.2 Reglas para el trazado directo del lugar de las raíces
Empleando los criterios del módulo y el argumento, existen unas reglas que
permiten una construcción manual de manera aproximada, pero suficiente, del lugar de
las raíces.
Se enuncian las reglas para el lugar directo, cuando se varía k desde 0 hasta +∞.
Estas variaciones de la ganancia producen que los polos de la cadena cerrada también se
modifiquen, describiendo unas curvas a las que se denominan ramas.
Regla 1: Número de ramas
El número de ramas del LDR es igual al número de polos de la cadena abierta.
Regla 2: Puntos de inicio y final
Cada rama del LDR comienza en un polo de la cadena abierta, para el cual
corresponde con k=0, y termina en un cero de la misma, correspondiente a k=∞. Si el
número de ceros es inferior al de polos, existirán un número de ceros en el infinito igual
a la diferencia entre los polos y ceros en cadena abierta.
Regla 3: Lugar de las raíces que están en el eje real
Un punto situado sobre el eje real pertenecerá al LDR, si el número de polos y
ceros contados desde la derecha, esto es, desde los positivos reales hacia los negativos
del dominio complejo, es un número impar de ellos.
Regla 4: Simetría
El LDR es simétrico respecto del eje real.
Regla 5: Ángulos de las asintóticas
Las ramas del LDR que terminan en el infinito son asintóticas, para grandes
valores de s, a rectas cuyos ángulos con el eje real vienen dados por la expresión:
ϑa =
(2q + 1) ⋅ π
n−m
q = 0,±1,±2,...
(10. 3)
siendo n el número de polos de la cadena abierta y m el número de ceros en
cadena abierta:
210
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Apuntes de Regulación Automática
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
G (s )H (s ) =
N (s )
D (s )
(10. 4)
n = grado (D(s))
m ≡ grado (N(s))
Regla 6: Centroide de las asíntotas
Las asíntotas, las provenientes de la anterior regla, cortan al eje real en un punto
situado a una distancia σa del origen, dado por:
σa =
Σ partes reales polos GH (s ) − Σ partes reales ceros GH (s )
n−m
(10. 5)
Regla 7: Ángulos de salida y de llegada para raíces complejas conjugadas
Los ángulos de salida de los polos complejos de la cadena abierta forman una
tangente a la correspondiente rama del LDR respecto el eje real que habrá de aplicar el
criterio del argumento:
arg(G (s )H (s )) = (2q + 1)π
q = 0,±1,±2,...
(10. 6)
De igual manera, para los ceros complejos y conjugados de la cadena abierta.
Sus ángulos, en este caso de llegada, también son determinados por el criterio del
argumento. Concluyendo, cuando el sistema tiene polos o ceros complejos en cadena
abierta, las ramas del LDR salen o llegan, según el caso de polos o ceros
respectivamente, con un ángulo calculable a partir del criterio del argumento.
Regla 8: Puntos de dispersión y confluencia
Cuando las ramas abandonan el eje real o confluyen en él, lo hacen en un punto
de dispersión o de confluencia respectivamente. Si el lugar en el eje real está limitado
por un polo y un cero de la cadena abierta, no existirá punto de dispersión o confluencia,
ya que la rama empieza en el polo y acaba en el cero. En el caso de coincidir sobre el
eje real dos polos proximos entre sí o dos ceros, uno al lado del otro, darán una
situación de dispersión o confluencia, respectivamente, sobre el eje real. Estos puntos se
calculan a través de dos métodos. En el primer método, se trata de despejar k, derivar la
expresión respecto de s e igualar a cero, calculando las raíces:
Supóngase que el polinomio característico pueda ser expresado como una
combinación de dos términos, A(s) y B(s):
1 + G ( s ) H ( s ) = B (s ) + kA(s ) = 0
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⇒
k=
− B (s )
A(s )
211
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
Apuntes de Regulación Automática
Los puntos de dispersión y confluencia serán las raíces de la derivada de k
respecto a s igualado a cero:
dk
B ' (s )A(s ) − B (s ) A' (s )
=−
=0
ds
A 2 (s )
Esta condición es necesaria pero no suficiente. No todas las soluciones de esta
expresión corresponden con puntos de dispersión o confluencia. Serán valores válidos,
aquellas que además sean soluciones del polinomio carácterístico. Este método para
polinomios superiores a segundo orden requiere de métodos numéricos.
Para polinomios característicos mayores al tercer orden un segundo método
iterativo se plantea. La alternativa es la siguiente ecuación:
1
1
∑s+ p = ∑s+z
i
i
j
(10. 7)
j
La forma de actuar para expresiones superiores al segundo orden consiste en
suponer un valor inicial, s0, de dispersión o confluencia y sustituirlo en la ecuación
anterior s por s0 en todos los sumandos excepto a los polos o ceros que limiten la zona
del eje real donde se localice el punto de confluencia o dispersión. A continuación se
resolverá la ecuación de 2º grado resultante. Si la solución obtenida se aproxima lo
suficiente al valor de la semilla, s0, se tomará como bueno. Si no se volverá a repetir el
proceso con el nuevo valor obtenido. Para el caso de raíces complejas conjugadas,
2(s + α )
s = −α ± j β , el término se pondrá de la forma:
(s + α )2 + β 2
Regla 9: Intersección del LDR con el eje imaginario
Los puntos de corte del LDR con el eje imaginario corresponden a polos que
hacen al sistema críticamente estable, lo que implica la aparición de una fila de ceros en
la tabla de Routh.
Regla 10: Valor de k
El valor de k para un punto cualquiera, sx, del LDR puede calcularse
aplicando el criterio del módulo:
n
1 + kG (s )H (s ) = 0
kx =
Π s x + pi
1
= i =m1
G (s x )H (s x ) Π s + z
x
i
j =1
212
(10. 8)
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Apuntes de Regulación Automática
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
Ejemplo 10.1
Trazado del LDR del siguiente sistema de control:
R1: Número de ramas 1
R2:
k=0
s=-1
k=+∞ s=-3
R3: Ramas en el eje real
Ejemplo 10.2
Calcular el LDR del equipo Peltier
sometido a una realimentación unitaria
R1: Número de ramas 2.
R2: k=0 s=-0.07.
k=0 s=-0.525.
R3: LDR en el eje real entre
-0.07 y –0.525.
R4: Simetría respecto al eje
real.
R5 : ϑ a =
(2q + 1)π
2
=
π 3π
,
2 2
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213
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
R6 : σ a =
Apuntes de Regulación Automática
− 0.07 − 0.525
= −0.2975
2
R8: Punto dispersión
1
1
+
=0 →
σ d + 0.525 σ d + 0.07
σd =
(σ d + 0.07 ) + (σ d
(σ d + 0.525)(σ d
+ 0.525)
=0
+ 0.07 )
(− 0.07 − 0.525) = −0.2975
2
R9: No hay cortes con el eje imaginario
R10: k →
s + 0.07 s + 0.525
k ⋅ 0.045
=1 ; k =
s + 0.07 s + 0.525
0.045
Por ejemplo, la ganancia en el punto de dispersión será, s=-0.2975:
k=
− 0.2975 + 0.07 − 0.2975 + 0.525
0.045
= 1.15
Ejemplo 10.3
Calcular el LDR para la estructura de realimentación indicada en la figura
adjunta.
R1: Número de ramas 3
R2: k=0
S=-1
S=-2
S=-3
R3: Ramas en el eje real
R4: Simetría sobre el eje real.
R5 : ϑa =
214
(2q − 1)π
3
==
π
3
, π,
5π
3
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Apuntes de Regulación Automática
R6 : σ a =
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
−1− 2 − 3
= −2
3
R7: No hay ceros ni polos en la cadena abierta que sean complejos conjugados.
R8 :
1
1
1
+
+
=0 →
(σ d + 3) (σ d + 1) (σ d + 2)
(σ d
+ 1)(σ d + 2 ) + (σ d + 3)(σ d + 2 ) + (σ d + 3)(σ d + 1) = 0
3σ d2 + (3 + 5 + 4 )σ d + (2 + 6 + 3) = 0 ⇒ 3σ d2 + 12σ d + 11 = 0 ⇒ σ = −1.42
R9: Ganancia crítica mediante las tablas de Routh
1 + kG (s )H (s ) = 1 +
M (s ) =
3k
-> 1 + kG (s )H (s ) = (s + 1)(s + 2)(s + 3) + 3k
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
3k (s + 3)
3k (s + 3)
= 3
(s + 1)(s + 2)(s + 3) + 3k s + 6s 2 + 11s + 6 + 3k
s3
1
1
s2
6
6+3k
s1
66 − (6 + 3k )
6
66-(6+3k)=0
s0
6+3k
kcr =60/3=20
11
El polo imaginario para la ganancia crítica de 20 es de ± j 3.3
R10: k =
s +1 s + 2 s + 3
3
La ganancia en el punto de dispersión de las raíces será: s=-1.42 → k=0.128
Ejemplo 10.4.
Determinar el LDR del siguiente sistema de control
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215
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
Apuntes de Regulación Automática
R1: Nº de ramas 3
s=-2
R2: k=0
s=-1+j2
s=-1-j2
R3: Ramas en el eje real
R4: Simetría con el eje real
R5 : θ a =
R6 : σ a =
(2q + 1)π
=
3
π
3
,π ,
5π
3
∑(− 1 − 1 − 2 ) − 0
4
= − = −1.33
3
3
R7: Ángulos de salida de los polos complejos de la cadena abierta:
− ( β1 + β 2 + β3 ) = ( 2q + 1) .π
⇒ β1 ?
π
 2 
< > 90° β 3 = arc tg 
 = 63.43º
2
 2 −1 
β1 = 26.56º
β2 = +
R8: No hay puntos de dispersión
R9:
M (s ) =
=
216
[(s + 1)
5k (s + 2 )
2
]
+ 2 2 (s + 2 ) + 50.k
5k ( s + 2 )
5k ( s + 2 )
= 3
2
s + 2 s + 5 (s + 2) + 50k s + 4 s + 9s + 10 + 50k
(
2
)
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s3
1
9
s2
4
10+50k
s
36 − (10 + 50k )
4
s0
10+50k
kcr =
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
26 1
≅
50 2
Los polos para la ganancia crítica serán de ±j3.
10.3 Formas básicas del LDR
El conocimiento de las formas que presentan ciertos LDR, facilitan de gran
manera el trazado de otros LDR de sistemas específicos. Para empezar, véanse las
ubicaciones de sistemas de primer orden, seguidamente los sistemas de segundo orden y
para acabar los de orden superior.
Las formas del LDR de los sistemas de primer orden son de obtención
inmediata. Supóngase el caso más general de un sistema de primer orden, con un polo y
un cero, cuyas constantes de tiempo sea –1/b y –1/a respectivamente:
Como se observa de las gráficas de los LDR adjuntos, el conjunto realimentado
resultante también es otro sistema de primer orden. Si el polo de la cadena abierta
domina sobre el cero, |b|>|a|, al aumentar la ganancia, k, el conjunto se vuelve más
rápido. En caso contrario, |a|>|b|, el polo de la cadena cerrada se acerca hacia el
semiplano positivo, haciendo que el sistema realimentado sea más lento.
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217
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
Apuntes de Regulación Automática
Figura 10. 4 a) Cero en el infinito, b=inf, b) Polo domina sobre el cero, c) Cero domina sobre el polo
Para los sistemas de segundo orden simples, al realimentarlo puede presentar dos
formas de LDR, una correspondiente a polos reales y otra a polos complejos
conjugados:
En ambos casos cumple que al aumentar el valor de k el sistema tiende a ser más
subamortiguado, ↑ k→ ↓ξ. Por tanto, su respuesta temporal presenta más
sobreoscilación y tiene tendencia a perder estabilidad relativa.
10.3.1 Adición de polos y ceros a un sistema de segundo orden simple
Al introducir un cero en la cadena abierta de un sistema de segundo orden
simple, el añadido puede ocupar tres posiciones. En la primera posición, se supone que
la constante de tiempo del cero sea más pequeña que la de los polos. Ya sean polos
reales o complejos conjugados, provocará que el sistema realimentado se vuelva más
rápido y estable, como consecuencia de la atracción de las ramas hacia el cero:
1
k
(s+a)(s+b)
Entrada
Ganancia
Gp(s)
Scope
s+c
1
H(s)
218
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Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
1. |c|>|a|
|c|>|b|
Si el cero se sitúa entre media de los polos, esta posición sólo se da si los polos
de la cadena abierta son reales. Los polos de la cadena cerrada también serán reales.
2. |c|>|b|
|c|<|a|
Por último, si la constante de tiempo del cero es mayor que el de los polos, las
ramas del sistema tenderá a dirigirse hacia el cero.
3. |c|<|a|
|c|>|b|
Concluyendo, para los dos primeros casos, la colocación de un cero real provoca
el distanciamiento de las ramas del eje imaginario, por consiguiente el sistema aumenta
en estabilidad relativa y es más rápido.
En sentido contrario se presenta la adición de polos en la cadena abierta. El
efecto de introducir un polo adicional es desviar el LDR hacia la parte real positiva del
dominio S, desplazando simultáneamente el punto de dispersión en el mismo sentido.
Todo ello origina una disminución de la estabilidad.
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219
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
Apuntes de Regulación Automática
Figura 10. 5 a) Polo adicional en un sistema de segundo orden con polos reales, b) y c) Adición de un
polo en un sistema de segundo orden de polos complejos y conjugados
10.3.2 Adición de polos y ceros a un sistema de orden superior
En general, los ceros en la cadena abierta hacen que el sistema se vuelva más
estable y más rápido. Este efecto se observa empleando el LDR. Las ramas son atraídas
hacia la ubicación del cero. Luego si el cero está en el semiplano negativo, las ramas se
alejarán del semiplano positivo y consecuentemente, el sistema se volverá más estable y
también más rápido.
Por otro lado, se puede comprobar que la adición de un polo en bucle abierto
reduce la estabilidad relativa del sistema en bucle cerrado. De hecho, recordando lo que
se comentó en el capítulo de sistemas de orden superior, la adición de un polo en la
cadena abierta, tiende a que el sistema en su conjunto sea más lento y pierda estabilidad.
10.4 Reglas para el trazado del lugar inverso
En el trazado de las ramas del lugar inverso de las raíces, − ∞ ≤ k ≤ 0 , la
ganancia de la cadena abierta resulta negativa y el criterio del argumento cambia 180º.
En cambio, el criterio del módulo se mantiene. El efecto producido es la variación de las
reglas del trazado del LDR cuyo fundamento se basa en el criterio del argumento. Para
este caso, los dos criterios establecidos en el LDR se modifican a:
220
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Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
G (s )H (s ) = 1
arg(G (s )H (s )) = 360 ⋅ q q = 0,±1,±2,...
(10. 9)
Véanse las diferencias respecto a la ec. 10.1. El criterio del modulo se mantiene,
pero varía el del argumento. Las reglas que se modifican son las reglas 3, 5 y 7. Las
restantes son idénticas al trazado directo del LDR.
Regla 3: Comportamiento en el eje real
Un punto situado sobre el eje real pertenecerá al lugar inverso de las raíces, si el
número de polos y ceros contados desde la derecha, esto es, desde los positivos reales
hacia los negativos del dominio complejo, es un número par de ellos.
Regla 5: Ángulos de las asintóticas
Las ramas del lugar inverso de las raíces que terminan en el infinito son
asintóticas, para grandes valores de s, a rectas cuyos ángulos con el eje real vienen
dados por la expresión:
ϑa =
q ⋅ 2π
n−m
q = 0,±1,±2,...
(10. 10)
siendo n el número de polos de la cadena abierta y m el de los ceros en cadena
abierta.
Regla 7: Ángulos de salida y de llegada
Los ángulos de salida de los polos complejos de la cadena abierta forman una
tangente a la correspondiente rama del lugar inverso de las raíces respecto el eje real
que habrá de aplicar el criterio del argumento:
arg(G (s )H (s )) = q ⋅ 2π
q = 0,±1,±2,...
(10. 11)
De igual manera, para los ceros complejos y conjugados de la cadena abierta.
Sus ángulos, en este caso de llegada, también son determinados por el criterio del
argumento. Concluyendo, cuando el sistema tiene polos o ceros complejos en cadena
abierta, las ramas del lugar inverso de las raíces salen o llegan, según el caso de polos o
ceros respectivamente, con un ángulo calculable a partir del criterio del argumento.
10.5 Sistemas de fase no mínima
Si todos los polos y ceros de un sistema se encuentran en el semiplano negativo
de s, el sistema se denomina de fase mínima. Si el sistema tiene al menos un polo o un
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221
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
Apuntes de Regulación Automática
cero en el semiplano positivo se considera que es de fase no mínima. Este concepto
viene dado por el cambio de fase que se produce en la respuesta en frecuencia.
Esta situación se presenta cuando hay retardos puros en la transmisión de la
señal. Así por ejemplo, para sistemas sobreamoritguados modelados según el criterio de
Ziegler-Nichols aparece un retardo puro en la función de transferencia. El problema está
en el modelo matemático del retardo temporal que corresponde a un término
exponencial y por lo tanto no lineal. Para resolverlo, este término puede ser linealizado
a través de la aproximación de Pade:
e − sT
T
s
2
≅
T
1+ s
2
1−
(10. 12)
Como se observa de la expresión, ésta introduce un cero en el semiplano
positivo. Luego las plantas que llevan un retardo en la transmisión y son aproximados
por Pade tienen un modelo LTI de fase no mínima. Si a estas plantas se las realimentan,
sus lugares de raíces quedarán modificados por las inserciones de los ceros en el
semiplano positivo. Además, la aproximación de Pade hace que el trazado sea inverso al
introducir un signo menos en la ganancia. El efecto es atraer las ramas hacia el
semiplano de la derecha. La estructura de realimentación negativa tiene tendencia a la
inestabilidad.
Supóngase una planta sobreamortiguada modelada por Ziegler-Nichols que se le
dé una realimentación unitaria:
k
exp(-Td*s)
(s+1/T)
Entrada
Ganancia
Gp(s)
Scope
La ganancia de la cadena abierta se aproximará por Pade a:
2
Td
s−
s
Td
2
G (s )H (s ) = k
= −k
 Td 

2 
1
s (1 + sT )
1 +
T  s +  s + 
2 
Td 
T


1−
222
(10. 13)
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Apuntes de Regulación Automática
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
El trazado inverso de las raíces quedará definido por los dos polos de la
cadena abierta en el semiplano negativo y el cero en la parte positiva:
Ejemplo 10.5
En el trabajo de campo, los resultados del equipo de prácticas Peltier
ante una entrada en escalón se caracteriza por un modelo de Ziegler-Nichols
de plantas sobreamortiguadas. Las medidas realizadas dan un retardo
aproximado de 4s., el tiempo de establecimiento es de 45 segundos y tiene
una ganancia estática de 1.22. Determinar el trazado del lugar de las raíces.
La constante de tiempo del modelo de ZN será un tercio de 45s-4s y su FDT
quedará definida por:
G p (s ) =
(1 − 2s )1.22 = − 0.09(s − 0.5)
(1 + 2s )(1 + 13.66s ) (s + 0.5)(s + 0.073)
R1: Número ramas ≡2
R2: k=0
s=-0.5
S=-0.073
K=∞ → s+0.5
R3: Ramas del eje real
R4: Simetría
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223
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
Apuntes de Regulación Automática
R5 : ϑ a =
360q
= 360
2 −1
R6 : σ a =
− 0.5 − 0.073 − 0.5
σ a = −1.0073
2 −1
R7: No se aplica.
R8: Punto de dispersión:
1
1
1
+
=
σ + 0.5 σ + 0.073 σ − 0.5
Para calcular el punto de dispersión se emplea como semilla el valor medio
de los extremos y se hace la iteración de:
− 0.073 − 0.5
= −0.2865
2
1
1
1
+
= s
σ d + 0.5 σ d + 0.073 σ d − 0.5
σ sd =
σ ds
-0.2865
-0.258
-0.257
En el punto de confluencia, al tener el cero en el origen, la semilla no es tan
fácil de determinar, se empezará por el tipo de LDR en un valor de +1.
σ sc = 1
1
1
1
+ s
=
σ c + 0.5 σ c + 0.073 σ c − 0.5
s
σ cs
1
1.25
1.189
1.22
1.24
1.25
1.25
R9: s2+(0.579-0.09k)s+0.0365+0.045k
s2
1
s1
0.579-0.09k
s0
0.0365+0.045k
0.0365+0.045k
k cr =
0.579
= 6.36
0.09
Los polos para la ganancia crítica serán de ±j0.57
224
Dpto. Electrónica, Automática e Informática Industrial
Apuntes de Regulación Automática
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
10.6 Problemas
Ejercicio 10.1
Se utiliza un dispositivo de
rastreo digital o escaneo de rayos
X para inspeccionar tarjetas de
circuitos impresos y chips de
tableta,
montados
en
una
plataforma X-Y accionada por un
tornillo, como se muestra en la
figura a). La posición de la
plataforma es gobernada por un
controlador basado en
una
computadora. La figura b) muestra
el diagrama de bloques del control
proporcional (Gc(s)=Kc) de uno de
los ejes de la plataforma. Gp(s)
representa la dinámica del motor y
la plataforma, con la razón de la inercia al coeficiente de amortiguamiento
J/β=1/4.
1. Dibújese el LDR del sistema.
2. Calcúlese el valor de Kc, si se desea que la sobreoscilación, Mp, sea del
40% cuando al sistema le apliquemos un escalón unitario.
3. Se desea que el error del sistema en régimen permanente sea menor o
igual a 0.10 para una entrada en rampa unitaria, calcúlese el valor de Kc
correspondiente.
Ejercicio 10.2
La figura representa un sistema de control realimentado:
G 2 (s)
G 1 (s)
ϑE
R1
G 3 (s)
G 4 (s)
ϑs
+
A1
-
R2
A2
Jc
C1
BC
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225
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
Apuntes de Regulación Automática
1. Obténgase la función de transferencia de G2(s) y G4(s), así como la FDT
en cadena abierta, G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)G4(s) del sistema. Háganse en
G(s) las siguientes sustituciones:
A1A2/BC=k; R2C1=0.25 s; JC/BC=1;(R1+R2)C1=0.50 s
2. Hállese la función de transferencia total o transmitancia en bucle cerrado
del sistema.
3. Dibújese el LDR.
4. Calcúlese el valor de k y las raíces para que el sistema oscile.
5. Para las raíces obtenidas en el apartado d), determínese la respuesta
del sistema para una entrada en escalón unitario.
Resolución
1. La FDT de la cadena abierta es:
G (s ) =
A1 A2 (1 + s ⋅ 0.25) 1
Bc (1 + s ⋅ 0.5) s (s + 1)
2. FDT de la cadena cerrada:
M (s ) =
k (1 + s 0.25)
(1 + s ⋅ 0.5)(1 + s ) ⋅ s + k (1 + s0.25)
3.
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-4
226
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Dpto. Electrónica, Automática e Informática Industrial
Apuntes de Regulación Automática
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
4. k cr = 12
5. ω d = 2.85[rad / s ] → T = 2.2 s
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Ejercicio 10.3
Un avión comercial con piloto automático presenta en el modo de oscilación
longitudinal la función de transferencia
siguiente.
G( s ) H ( s ) =
θe

1
k s + 
T2 


1
s s −  (s2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 )
T1 

θs
donde:T1 = 1 ; T2 = 2 ; ζ = 0.5 ; ωn = 4.
Construir el Lugar de Raíces del sistema.
R1: Número ramas ≡4
R2: k=0 (0,+1,-2+j3.45,-2-j3.46) k=∞ (-0.5)
R3: Ramas del eje real
R4: Simetría
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227
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
R5 : ϑ a =
Apuntes de Regulación Automática
(2q + 1)180
4 −1
= 60,−60,180
LDR del avion
8
6
− 0 + 1 − 2 − 2 + 0 .5
4 −1
σ a = −0.83
4
R6 : σ a =
Imaginario
2
0
-2
R7:
α 1 − (β 1 + β 2 + β 3 + θ s ) = (2q + 1)180
-4
⇒ θ s = −47 º
-6
-8
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
Real
R8: El punto de dispersión y confluencia puede aproximarse a la ecuación de segundo
orden:
1
1
1
≈
σ σ − 1 σ + 0 .5
− 1.36
⇒σ = 
 0.36
+
R9: s4+3 s3+12 s2-16s+ks+0.5k
s4
s3
s2
1
12
0.5k
3
k-16
36 − (k − 16)
0.5k
3
s1
*
s0
0.5k
Ejercicio 10.4
18.48
k cr = 
45.02
T, θ1
La figura muestra, de forma básica, un
sistema de reconocimiento astronómico. En
ella se puede ver cómo este satélite está
formado por dos bloques (unidos por
conexiones no rígidas), siendo el mayor de
θ2
estos bloques el que contiene el sistema de
comunicación, propulsión y fuentes de
alimentación; mientras que el otro bloque sólo contiene sensores que deben
228
Dpto. Electrónica, Automática e Informática Industrial
Apuntes de Regulación Automática
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
estar aislados de las vibraciones del primer bloque. Si la estructura metálica de
conexión entre los bloques se modelan por un resorte, K, y un rozamiento
equivalente, B. Se pide:
1. Demostrar la FDT entre el giro del segundo bloque respecto al par
θ (s )
0.6(s + 2.97 )
= 2
dado en el bloque principal: 2
T (s ) s (s + 3)2 + 3 2
(
)
2. Si el sensor de posición del bloque segundo y el elemento de potencia
tienen FDT unitaria, dibujar el diagrama a bloques del sistema de control
realimentado.
3. Determinar el trazado directo del lugar de las raíces del sistema de
control.
4. Y el trazado inverso.
Datos:
J1= 10 kg m2 J2= 0.1 kg m2 K= 1.78 Nm/rad B= 0.6 Nms/rad
1. El conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que caracteriza la dinámica
de rotación del satélite son:
(
)
T (t ) = J 1θ1 (t ) + K (θ1 (t ) − θ 2 (t )) + B θ1 (t ) − θ2 (t )
K (θ (t ) − θ (t )) + B θ (t ) − θ (t ) = J θ (t )
1
2
(
1
2
)
2
2
Aplicando transformadas de Laplace y considerando condiciones iniciales nula
se obtiene la FDT solicitada:
θ 2 (s )
T (s )
=
K + sB
0.6(s + 2.97 )
= 2
s J 1 ⋅ J 2 s + B( J 1 + J 2 )s + K ( J 1 + J 2 ) s (s + 3)2 + 3 2
2
(
2
)
(
)
2.
Dpto. Electrónica, Automática e Informática Industrial
229
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
Apuntes de Regulación Automática
3.
Root Locus
8
R1: Nº de ramas 4
6
R2: k=0(0,0,-3+j3) k=∞ (-2.97)
4
2
(2q + 1)π
R5 : θ a =
3
Imaginary Axis
R3: Ramas en el eje real
R4: Simetría con el eje real
0
-2
π
5π
= ,π ,
3
3
-4
-6
R6 : σ a =
(− 0 − 0 − 3 − 3) + 2.97 ≈ −1
-8
-10
-8
-6
-4
3
R7: Ángulos de salida de los polos
complejos de la cadena abierta:
α − (2β 1 + β 2 + β 3 ) = (2q + 1).π α ≅ β 3 = +
-2
0
2
4
Real Axis
π
2
 3  3π
= 90° β 1 = π − arc tg   =
3 4
β2 ≅ −
π
2
R8: Hay el punto de dispersión de los polos dobles del origen y un punto de
confluencia que se calculará de manera numérica:
(
2 ⋅ σ cs + 3
(σ
s
c
)
+3 +3
σ cs
2
+
1
1
1
+ s
=
σ + 0 σ c + 0 (σ c + 2.97 )
(
s
c
-3.5
) (
-4.44
)
-4.37
D D(s ) = s 4 + 6 s 3 + 18s 2 + 0.6ks + 1.78k
s4
s3
s2
1
6
s1
s0
*
1.78k
108 − 0.6k
6
18 1.78k
0.6k
1.78k
Root Locus
10
8
6
108 − 0.6k
0.6k − 1.782k ⋅ 6
6
*=
108 − 0.6k
6
Las condiciones de estabilidad
son k>0, k<1.8 y k<180. Por tanto,
resulta estable entre 0 y 1.8
4
2
Imaginary Axis
R9:
)
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-6
-4
-2
0
2
4
6
Real Axis
230
Dpto. Electrónica, Automática e Informática Industrial
8
10
Apuntes de Regulación Automática
Capítulo 10: Técnicas del Lugar de las Raíces
4. Para el trazado inverso sólo habrá que modificar las reglas 3,5 y 7.
R3: Ramas en el eje real
R5 : θ a =
2πq
2π 2π
,−
= 0,
3
3
3
R7: Ángulos de salida de los polos complejos de la cadena abierta:
α − (2β 1 + β 2 + β 3 ) = 2.πq
β2 ≅ −
6π
4
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