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Sucesiones y convergencia

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Sucesiones y convergencia
Capı́tulo 2
Sucesiones y
convergencia
1.
Definiciones
Una de las ideas fundamentales del análisis es la de lı́mite; en particular,
el lı́mite de una sucesión. En este capı́tulo estudiaremos la convergencia de
sucesiones, además del concepto de completitud en espacios métricos.
Definición 2.1. Sea (X, d) un espacio métrico. Una sucesión en X es una
función f : Z+ → X. Si, para cada n, f (n) = xn , entonces escribiremos la
sucesión f como (xn )∞
n=1 .
Decimos que (xn )∞
n=1 converge a x ∈ X, y escribimos xn → x, si, para
todo ε > 0, existe N ∈ Z+ tal que, si n ≥ N , entonces d(xn , x) < ε.
Los siguientes enunciados son equivalentes a decir que xn → x:
Para todo ε > 0, existe N ∈ Z+ tal que, si n ≥ N , entonces xn ∈
Bε (x).
Para todo abierto U en X que contiene a x, existe un N ∈ Z+ tal
que, si n ≥ N , entonces xn ∈ U .
x
x1 x2 3
x
ε
Figura 1. Ejemplo de una sucesión que converge a x. Todos los puntos
xn , excepto un número finito de ellos, están a distancia ε de x.
21
22
2. Sucesiones y convergencia
Ejemplo 2.2. Sea x0 ∈ X, y considere la sucesión dada por xn = x0 ,
n = 1, 2, . . .. Entonces es claro que xn → x0 , ya que d(xn , x0 ) = 0 < ε para
todo ε > 0 y n ∈ Z+ . En este caso decimos que (xn )∞
n=1 es una sucesión
constante.
Ejemplo 2.3. Dada una sucesión (xn )∞
n=1 , si existe N ∈ Z+ tal que xn = x,
para algún x ∈ X y para todo n ≥ N , decimos que (xn )∞
n=1 es finalmente
constante a x. Al igual que en el ejemplo anterior, xn → x.
Ejemplo 2.4. Considere la sucesión xn = 1/n en R. Entonces xn → 0. Para
mostrar ésto, sea ε > 0. Por la propiedad Arquimidiana de R, existe N ∈ Z+
tal que N > 1/ε. Entonces, si n ≥ N ,
1
1
1
< ε.
− 0 = ≤
n
n
N
Ejemplo 2.5. Sea (X, || · ||) un espacio normado. Una sucesión (xn )∞
n=1 en
,
dada
por
y
=
x
X converge a x si, y sólo si, la sucesión (yn )∞
n
n − x,
n=1
converge al vector 0.
Para verificar ésto, supongamos que xn → x. Entonces, dado ε > 0,
existe un N tal que n ≥ N implica ||xn − x|| < ε. Entonces n ≥ N implica
||yn || < ε y, por lo tanto, yn → 0. El enunciado inverso se demuestra de
manera similar.
Proposición 2.6. Si una sucesión (xn )∞
n=1 converge, entonces su lı́mite es
único; es decir, si xn → x y xn → y, entonces x = y.
Demostración. Sea ε > 0, y sean N1 y N2 tales que d(xn , x) < ε/2 y
d(xm , y) < ε/2, para n ≥ N1 y m ≥ N2 . Tales Ni existen por convergencia.
Ahora bien, si N = máx{N1 , N2 }, entonces
d(x, y) ≤ d(x, xN ) + d(xN , y) < ε/2 + ε/2 = ε.
Como ε es arbitrario, concluimos que d(x, y) = 0. Por lo tanto x = y.
Cuando no haya motivo de confusión, escribiremos la sucesión (xn )∞
n=1
simplemente como (xn ), o incluso como xn , mientras que el lı́mite de la
sucesión (xn ) se denotará como
lı́m xn ,
n→∞
o simplemente lı́m xn .
Si A ⊂ X, decimos que (xn ) está en A si, para todo n, xn ∈ A.
Las siguientes preguntas aparecen de manera natural, dada una sucesión
(xn ) en A: Si xn → x, entonces ¿x ∈ A? ¿Bajo qué condiciones podemos
garantizar que x ∈ A? ¿Podemos clasificar el conjunto de puntos x tales que
existe alguna sucesión (xn ), en A, tal que xn → A?
1. Definiciones
23
Las respuestas a estas preguntas se pueden concluir del siguiente teorema.
Teorema 2.7. Sea (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X. Entonces x ∈ Ā si,
y sólo si, existe (xn ) en A tal que xn → x.
Demostración. Si x ∈ Ā, entonces, para todo ε > 0, Bε (x) ∩ A 6= ∅.
Escogemos entonces, para cada n, xn ∈ B1/n (x) ∩ A 6= ∅. Es fácil verificar
que xn → x (ejercicio 2).
De manera inversa, supongamos que existe una sucesión (xn ) en A tal
que xn → x. Entonces, cualquier bola con centro en x contiene a algún
elemento xn de la sucesión (de hecho a todos excepto a lo más un número
finito de ellos).
Si x ∈ A, entonces x ∈ Ā; si x 6∈ A, entonces cualquier bola con centro
en x contiene algún punto en A distinto de x, por lo que x es un punto de
acumulación de A y, por lo tanto, x ∈ Ā.
Este teorema nos asegura que, si (xn ) está en A y xn → x, entonces
x no necesariamente es un elemento de A, pero está en la cerradura de A.
Además, si A es cerrado, entonces siempre x ∈ A.
Si A no es cerrado, podemos encontrar puntos de acumulación de A que
no estén en A, y el teorema nos permite concluir que existen sucesiones que
convergen a tales puntos. Como ejemplo, consideremos la sucesión (1/n).
Esta sucesión está en el intervalo (0, 1], pero su lı́mite, 0, no lo está.
Si (xn ) es una sucesión, una subsucesión de (xn ) es una función g : Z+ →
{xn : n ∈ Z+ }, digamos g(k) = xnk , tal que, si k < l, entonces nk < nl .
Proposición 2.8. Si xn → x, entonces xnk → x para toda subsucesión
(xnk ) de (xn ).
Demostración. Sea ε > 0. Como xn → x, existe N tal que n ≥ N implica
d(xn , x) < ε. Entonces, como nk ≥ k para todo k, si k ≥ N entonces nk ≥ N
y por lo tanto
d(xnk , x) < ε.
La siguiente pregunta aparece muy frecuentemente en análisis, y de hecho es clave en la solución de muchos problemas: Si (xn ) es una sucesión en
A, ¿qué condiciones debe satisfacer el conjunto A para garantizar que existe
una subsucesión (xnk ) tal que xnk → x para algún x ∈ A?
Un conjunto con tal propiedad es llamado secuencialmente compacto, y
haremos un estudio más detallado de tales conjuntos en el siguiente capı́tulo.
24
2. Sucesiones y convergencia
Sin embargo, podemos listar algunas propiedades, necesarias, para que un
conjunto A sea secuencialmente compacto.
Como la subsucesión (xnk ) también está en A, entonces, para garantizar
que x ∈ A, A debe ser cerrado en X. Ahora bien, A debe ser acotado.
Definición 2.9. Sea (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X. Decimos que A
es acotado si existe x ∈ X y M > 0 tales que A ⊂ BM (x); es decir, A
está contenido en alguna bola en X.
Esta definición es equivalente a decir que existen x ∈ X y M > 0 tales
que d(y, x) < M , para todo y ∈ A.
Todas las sucesiones convergentes son acotadas, es decir, si xn → x,
entonces el conjunto {xn : n ∈ Z+ } es acotado. De hecho, sea N tal que
d(xn , x) < 1 para todo n ≥ N . Entonces, si tomamos
M = máx{d(x, x1 ), d(x, x2 ), . . . , d(x, xN ), 1},
entonces d(xn , x) ≤ M para todo n, por lo que
{xn : n ∈ Z+ } ⊂ BM +1 (x).
Ahora bien, si A no es acotado, podemos construir una sucesión en A
que no tiene ninguna subsucesión convergente. Para ésto, haremos uso de la
siguiente proposición.
Proposición 2.10. Sea (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X, y asumimos que
A no es acotado. Entonces, para todo M > 0, n ∈ Z+ y x1 , x2 , . . . , xn ∈ X,
BM (x1 ) ∪ BM (x2 ) ∪ . . . ∪ BM (xn ) 6⊃ A.
Demostración. Demostraremos la contrapositiva de la proposición. Supongamos que A ⊂ BM (x1 ) ∪ BM (x2 ) ∪ . . . ∪ BM (xn ). Entonces, para x ∈ A,
existe i tal x ∈ BM (xi ). Si tomamos
R = máx d(xi , x1 ) + M,
i=2,...,n
entonces
d(x, x1 ) ≤ d(x, xi ) + d(xi , x1 ) < R,
y por lo tanto A ⊂ BR (x1 ).
Con esta proposición a la mano podemos construir la siguiente sucesión
en A: escójase x1 ∈ A (es claro que A 6= ∅, ya que no es acotado) y, habiendo
escogido x1 , x2 , . . . , xk , escogemos xk+1 ∈ A\ B1 (x1 )∪B1 (x2 )∪. . .∪B1 (xk ) .
Es claro que (xn ) no puede tener ninguna subsucesión convergente, ya que
d(xm , xn ) ≥ 1 para todos m y n, por lo que cualquiera dos puntos xn , xm no
pueden estar a distancia menor que, digamos, 1/2 de algún punto en común
(ejercicio 3).
25
2. Sucesiones de Cauchy y completitud
M
A
M
M
M
M
M
M
M
M
Figura 2. Si A no es acotado, entonces no puede ser cubierto por un
número finito de bolas de radio M .
Estas observaciones permiten concluir que A tiene que ser cerrado y
acotado para ser secuencialmente compacto. Sin embargo, estas condiciones
están lejos de ser suficientes, como lo muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.11. Considere (R, dA ) donde dA es la métrica acotada:
dA (x, y) =
|x − y|
.
1 + |x − y|
Entonces R es cerrado (en sı́ mismo) y acotado, ya que dA (x, y) ≤ 1 para
todo x, y. Sin embargo, la sucesión xn = n no tiene ninguna subsucesión
convergente porque, para cualquier m y n, m 6= n,
dA (xm , xn ) =
|m − n|
1
≥ ,
1 + |m − n|
2
r
donde hemos utilizado el hecho que la función r → 1+r
es creciente para
r > 0. Como en la construcción anterior, xm y xn no pueden estar a distancia
menor que 1/4 de algún número en común.
Decimos que A es totalmente acotado si, para todo ε > 0, existen
x1 , x2 , . . . , xn ∈ X tales que
Bε (x1 ) ∪ Bε (x2 ) ∪ . . . ∪ Bε (xn ) ⊃ A.
Por la construcción anterior vemos que, si A es secuencialmente compacto,
entonces deber ser totalmente acotado. En el siguiente capı́tulo mostraremos
que estas condiciones, cerrado y totalmente acotado, son suficientes para
garantizar que un conjunto es secuencialmente compacto.
2.
Sucesiones de Cauchy y completitud
Hasta ahora, la única manera que tenemos para concluir que una sucesión
converge es verificando la definición de convergencia directamente. Esto es,
debemos conocer el lı́mite a priori.
26
2. Sucesiones y convergencia
Como lo hemos hecho en ejemplos anteriores, podemos concluir que una
sucesión no converge (o incluso que no tiene subsucesiones convergentes),
si los términos de la sucesión no se acercan entre sı́. Esta es una condición
necesaria para convergencia, y es llamada la condición de Cauchy.
Sin embargo, sólo en ciertos espacios esta condición es suficiente, y dichos
espacios son llamados completos. En esta sección haremos precisas las ideas
de convergencia de Cauchy y completitud en un espacio métrico.
Definición 2.12. Sea (xn ) una sucesión en un espacio métrico (X, d). Decimos que (xn ) es una sucesión de Cauchy (o satisface la condición de Cauchy) si, para cada ε > 0, existe N ∈ Z+ tal que, si m, n ≥ N , entonces
d(xm , xn ) < ε.
La siguiente proposición explora distintas relaciones entre convergencia,
sucesiones de Cauchy y sucesiones acotadas.
Proposición 2.13. Sea (X, d) un espacio métrico y (xn ) una sucesión en
X.
1. Si (xn ) converge, entonces (xn ) es una sucesión de Cauchy.
2. Si (xn ) es una sucesión de Cauchy, entonces es acotada.
3. Si (xn ) es una sucesión de Cauchy y alguna subsucesión de (xn )
converge a x, entonces xn → x.
Demostración.
1. Supongamos que xn → x. Dado ε > 0, existe N
tal que si n ≥ N entonces d(xn , x) < ε/2. Entonces, si m, n ≥ N ,
ε ε
d(xm , xn ) ≤ d(xm , x) + d(x, xn ) < + .
2 2
2. Sea N tal que si m, n ≥ N entonces d(xm , xn ) < 1. Si tomamos
M = máx{d(x1 , xN ), d(x2 , xN ), . . . , d(xn , xN −1 ), 1},
entonces, para todo n, d(xn , xN ) ≤ M . Por lo tanto, (xn ) está en
BM (xN ).
3. Supongamos que xnk → x. Entonces, dado ε > 0, existe K tal que,
si k ≥ K, d(xnk , x) < ε/2. Como (xn ) es de Cauchy, existe N1 tal
que, si m, n ≥ N1 , d(xm , xn ) < ε/2. Si tomamos N = máx{nK , N1 },
entonces n ≥ N implica
ε ε
d(xn , x) ≤ d(xn , xnK ) + d(xnK , x) < + = ε.
2 2
El primer inciso de la proposición anterior establece que ser una sucesión
de Cauchy es una condición necesaria para que una sucesión sea convergente;
27
2. Sucesiones de Cauchy y completitud
pero esta condición no es suficiente en todo espacio métrico, como lo muestra
el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.14. Considere el subespacio Q de R, es decir, d(r, s) = |r − s|
para cualquiera r, s ∈ Q. Considere la sucesión
r1 = 1, r2 = 1.4, r3 = 1.41, r4 = 1.414, . . . .
√
En R, dicha sucesión convergerı́a a 2, y por lo tanto es
√ de Cauchy en R.
Obviamente también es de Cauchy en Q. Sin embargo, 2 6∈ Q, por lo que
(rn ) no converge en Q, por unicidad del lı́mite.
Definición 2.15. El espacio métrico (X, d) es completo si toda sucesión de
Cauchy converge.
El ejemplo 2.14 implica que el espacio Q no es completo.
Ejemplo 2.16. R es completo. Este hecho se sigue del llamado axioma de
completitud de los números reales:
Sea S 6= ∅ un subconjunto de R acotado por arriba. Entonces S tiene
un supremo.
La demostración del hecho de que toda sucesión de Cauchy en R converge a
partir de este axioma es bosquejada en el ejercicio 7, y los detalles se dejan
al lector.
Ejemplo 2.17. Rl es completo. Ésto se sigue de la completitud de los reales:
Supongamos que xn = (x1n , x2n , . . . , xln ) es una sucesión de Cauchy en Rl .
Entonces es fácil ver que cada (xin ) es una sucesión de Cauchy en R y, por
lo tanto, converge. Si xin → xi , para cada i, entonces
(x1n , x2n , . . . , xln ) → (x1 , x2 , . . . , xl ).
(Véase el ejercicio 5.)
Ejemplo 2.18. Un espacio métrico discreto es completo. De hecho, toda
sucesión de Cauchy en un espacio discreto es finalmente constante y por lo
tanto converge. En particular, un espacio finito es completo (ejercicio 4).
El espacio C([0, 1]), || · ||u es completo. Estableceremos este enunciado
como teorema.
Teorema 2.19. El espacio métrico C([0, 1]) con la norma uniforme es completo.
Demostración. Recordemos que C([0, 1]), || · ||u es el espacio métrico de
todas las funciones f : [0, 1] → R, continuas, cuya métrica está dada por
du (f, g) = ||f − g||u = máx |f (x) − g(x)|.
x∈[0,1]
28
2. Sucesiones y convergencia
Sea (fn ) una sucesión de Cauchy; es decir, para todo ε > 0, existe
N ∈ Z+ tal que, si m, n ≥ N , entonces |fn (x) − fm (x)| < ε para todo
x ∈ [0, 1]. Nótese que N no depende de x.
Ahora bien, si tomamos x ∈ [0, 1], la sucesión dada por xn = fn (x) es
una sucesión de Cauchy en R, por lo que, como R es completo, converge,
digamos a L(x). Entonces L define una función en [0, 1], dada por
L(x) = lı́m fn (x).
n→∞
Ésto significa que, para cada x ∈ [0, 1] y ε > 0, existe un Nx (que depende
de x) tal que, si n > Nx , entonces |fn (x) − L(x)| < ε. Decimos entonces que
(fn ) converge punto por punto a L.
Demostraremos que, de hecho, fn → L en C([0, 1]), es decir, (fn ) converge uniformemente a L ∈ C([0, 1]). Ésto lo haremos en dos pasos:
Paso 1: Para cada ε > 0 existe N tal que, si n ≥ N , entonces
|fn (x) − L(x)| < ε,
para todo x ∈ [0, 1];
es decir, N no depende de x.
Paso 2: L es continua en cada punto x ∈ [0, 1].
Para demostrar el paso 1, sea ε > 0. Tomamos N (la sucesión (fn ) es de
Cauchy) tal que, si m, n ≥ N , entonces |fn (x)−fm (x)| < ε/2 uniformemente.
Demostraremos que |fn (x) − L(x)| < ε para n ≥ N , uniformemente en x.
Fijamos x0 ∈ [0, 1] y estimaremos la diferencia |fn (x0 ) − L(x0 )|, para
n ≥ N . Ahora bien, sabemos que la sucesión (fn (x0 )) converge a L(x0 ), por
lo que podemos encontrar un Nx0 tal que |fn (x0 ) − L(x0 )| < ε/2, para todo
n ≥ Nx0 . Escogemos ahora un entero n0 con n0 > N y n0 > Nx0 . Entonces,
si n ≥ N , tenemos que
|fn (x0 ) − L(x0 )| ≤ |fn (x0 ) − fn0 (x0 )| + |fn0 (x0 ) − L(x0 )|
ε ε
<
+ = ε.
2 2
Como x0 es arbitrario y N no depende de x0 , podemos concluir que, si n ≥
N , |fn (x)−L(x)| < ε, para todo x ∈ [0, 1]. Entonces fn → L uniformemente.
Para demostrar el paso 2, tomamos un x0 ∈ [0, 1] y demostraremos que L
es continua en x0 ; es decir, dado ε > 0, mostraremos que podemos encontrar
un δ > 0 con la propiedad que |x − x0 | < δ implica |L(x) − L(x0 )| < ε.
Sea ε > 0. Por convergencia uniforme, podemos escoger un entero n0 tal
que
|fn0 (x) − L(x)| <
ε
3
3. Espacios vectoriales completos
29
para todo x ∈ [0, 1]. Ahora bien, como fn0 es continua, existe un δ > 0 tal
que, si |x − x0 | < δ, entonces
ε
|fn0 (x) − fn0 (x0 )| < .
3
Entonces, si x ∈ [0, 1] y |x − x0 | < δ, tenemos
|L(x) − L(x0 )| ≤ |L(x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − fn0 (x0 )| + |fn0 (x0 ) − L(x0 )|
ε ε ε
< + + = ε.
3 3 3
Más adelante estudiaremos la continuidad de funciones en un espacio
métrico y, de manera similar a C([0, 1]), definiremos el espacio C(X, Y )
como el espacio de funciones continuas acotadas de X a Y , con una métric
apropiada. Ası́ como lo hemos hecho para C([0, 1]), podemos mostrar que
C(X, Y ) es completo si Y es completo.
Sin embargo, C([0, 1]) no es completo con la norma || · ||1 (ejercicio 11).
El siguiente teorema será de utilidad más adelante.
Teorema 2.20. Sea (X, d) un espacio métrico completo y E un subespacio
de X. Entonces E es completo si y sólo si E es cerrado en X.
Demostración. Supongamos que E es completo, y sea x ∈ X un punto de
acumulación de E. Entonces, existe una sucesión (xn ) en E tal que xn → x.
Como (xn ) converge en X, es una sucesión de Cauchy en X. Pero la métrica
de E es la restricción a E de la métrica de X, por lo que entonces (xn ) es
también de Cauchy en E. Como E es completo, (xn ) converge en E. Como
E es un subespacio de X, la proposición 2.6 implica que xn → x en E, es
decir, x ∈ E. Por lo tanto, E es cerrado.
Supongamos ahora que E es cerrado en X, y sea (xn ) una sucesión de
Cauchy en E. Como E es un subespacio de X, (xn ) es también una sucesión
de Cauchy en X y, como X es completo, entonces converge, digamos a x.
Pero entonces (xn ) es una sucesión en E que converge a x, lo cual implica
que x ∈ Ē. Como E es cerrado, x ∈ E, lo cual implica que xn → x en E.
Por lo tanto, E es completo.
3.
Espacios vectoriales completos
En esta sección estudiaremos la completitud de un espacio métrico (X, d),
cuando (X, || · ||) es un espacio normado y la métrica d es inducida por la
norma; es decir, d(x, y) = ||x − y||. En este caso podemos estudiar la completitud del espacio X a través de series convergentes en X; en particular,
de series absolutamente convergentes en X.
30
2. Sucesiones y convergencia
Definición 2.21. Sea (X, || · ||) un espacio normado. Una serie en X es un
par de sucesiones ((xn ), (sn )) en X tales que
(2.1)
sn =
n
X
xk ,
k=1
para cada n ∈ Z+ . A la sucesión (sn ) se le llama la sucesión de sumas
parciales de la serie.
Decimos que la serie (2.2) es convergente (o que converge), si la sucesión
(sn ) de sumas parciales converge en X.
Denotaremos a la serie ((xn ), (sn ) como
∞
X
(2.2)
xn ,
n=1
o simplemente
P
xn . Si sn → s, entonces escribiremos
∞
X
xn = s,
n=1
donde el signo de igualdad se refiere al lı́mite de la serie.
Decimos que (2.2) es absolutamente convergente (o que converge absolutamente), si la sucesión (rn ),
(2.3)
rn =
n
X
k=1
||xk ||,
converge en R. Como la sucesión (rn ) es monótona creciente, entonces escribiremos simplemente
X
||xn || < ∞
P
para indicar que
xn es absolutamente convergente.
Nótese que mientras (2.1) define una sucesión de vectores, (2.3) define
una sucesión de números reales nonegativos. La convergencia de cada una
de éstas no necesariamente implica la convergencia de la otra.
Ejemplo 2.22. Considere la sucesión en R
(−1)n
.
n
P
La serie
xn converge en R, pero no converge absolutamente, ya que la
sucesión de sumas parciales
n
X
1
k
xn =
k=1
diverge.
31
3. Espacios vectoriales completos
Sin embargo, es conocido que si una serie en R es absolutamente convergente, entonces converge. Esto resulta ser equivalente a la completitud de
los números reales, como lo veremos a continuación.
Definición 2.23. Si el espacio normado (X, || · ||) es completo, entonces
decimos que X es un espacio de Banach.
Por ejemplo, R, Rl ó C([0, 1]), con la norma uniforme, son espacios de
Banach. El siguiente teorema caracteriza a los espacios de Banach a través
de sus series absolutamente convergentes.
Teorema 2.24. Sea (X, || · ||) un espacio normado. Entonces X es un espacio de Banach si, y sólo si, toda serie en X absolutamente convergente es
convergente.
Es decir, X es completo si, y sólo si, la sucesión (2.1) converge siempre
que (2.3) converge.
Demostración. Para demostrar este teorema supongamos primero que X
es un espacio de Banach; es decir, toda sucesión de Cauchy en X converge.
P
Sea entonces
xn un serie absolutamente
convergente; en otras palaPn
bras, suponemos que la sucesión ( 1 ||xk ||) converge. Demostraremos que
(sn ), la sucesión de sumas parciales, converge. Como X es completo, es suficiente con mostrar que (sn ) es una sucesión de Cauchy.
P
Sea ε > 0. Como la sucesión ( n1 ||xk ||) converge en R, entonces es una
sucesión de Cauchy. Tomemos entonces N tal que si n, m ≥ N , entonces
m
n
X
X
||x
||
||x
||
−
k < ε.
k
1
1
Pero esto significa, si n > m, que
||xm+1 || + ||xm+2 || + . . . + ||xn || < ε.
Por lo tanto, si n, m ≥ N y n > m, tenemos que
n
m
n
X
X
X
xk ||
xk || = ||
xk −
||sn − sm || < ||
1
1
m+1
≤ ||xm+1 || + ||xm+2 || + . . . + ||xn || < ε,
por lo que la sucesión (sn ) es de Cauchy y, por lo tanto, converge.
Ahora suponemos que toda serie absolutamente convergente es convergente en X. Para mostrar que X es completo, sea (xn ) un sucesión de Cauchy.
Mostraremos que esta sucesión converge.
Observemos que es suficiente, por la proposicón 2.13, demostrar que
alguna subsucesión de (xn ) converge.
32
2. Sucesiones y convergencia
Primero, para cada k ∈ Z+ , sea nk tal que, si m, n ≥ nk , entonces
||xn − xm || < 2−k
y, además, nk+1 ≥ nk . Tal sucesión es posible ya que (xn ) es una sucesión
de Cauchy. Definimos la sucesión
y1 = xn1 ,
yk = xnk − xnk−1 ,
k = 2, 3, . . . .
Por la construcción de las nk , es claro que ||yk || < 2−(k−1) , luego
n
X
k=1
||yk || < ||xn1 || +
n
X
k=2
2−(k−1) < ||xn1 || + 1
P
y, por lo tanto, la serie
yk es absolutamente convergente. Por hipótesis,
es convergente; es decir, para algún y ∈ X,
n
X
yk → y.
k=1
Pero
N
X
k=1
y k = xn 1 +
N
X
k=2
(xnk − xnk−1 ) = xnN ,
por lo que concluı́mos que la subsucesión (xnk ) converge.
Este teorema muestra por qué en R toda serie absolutamente convergente es de hecho convergente, como es mostrado en los cursos elementales de
cálculo. Ésto es equivalente a completitud. Más aún, este teorema nos permite desarrollar un criterio para convergencia uniforme de series de funciones
en C([0, 1]), el cual es llamado el criterio M de Weierstrass.
Corolario 2.25 (Criterio M de Weierstrass). Sea (fn ) una sucesión de
funciones en C([0, 1]). Si existe una sucesión (Mn ) de números
P nonegativos
tales que |fn (x)| ≤ Mn , para todo x ∈ [0, 1], y la serie
Mn converge,
entonces la serie
∞
X
fn (x)
n=1
converge absoluta y uniformemente en [0, 1].
Demostración. Las hipótesis se pueden reescribir de la siguiente forma:
||fn ||u ≤ Mn , para todo n,
P
Mn < ∞; es decir, converge.
P
P
Entonces la serie
||fn ||u converge, por lo que entonces
fn es una serie absolutamente convergente.
P Como C([0, 1]) es completo con la norma
uniforme, entonces la serie
fn converge en C([0, 1]), es decir, uniformemente.
33
3. Espacios vectoriales completos
De nuevo, el criterio M de Weierstrass se puede generalizar a los espacios C(X, Y ), donde Y es un espacio de Banach. En este caso, C(X, Y )
es también un espacio de Banach. Estudiaremos estas generalizaciones más
adelante en estas notas.
Ahora estudiaremos la convergencia de una serie que no necesariamente
converge de manera absoluta. El resultado más importante en esta área es
el siguiente teorema, debido a Dirichlet. Antes, definiremos una sucesión
monótona.
Definición 2.26. Decimos que una sucesión (an ) en R es monótona creciente (o monótona decreciente) si, para cada n, an+1 ≥ an (ó an+1 ≤ an ,
respectivamente). Si una sucesión es monótona creciente o monótona decreciente, diremos simplemente que es monótona.
Teorema 2.27 (Dirichlet). Sea (X, || · ||) un espacio de Banach, (λn ) una
sucesión en R y (xn ) una sucesión en X tales que
1. λn ≥ 0 para todo n;
2. λn es monótona y λn → 0; y
3. La sucesión de sumas parciales de (xn ),
sn =
n
X
xk ,
k=1
es acotada en X.
P
Entonces la serie ∞
n=1 λn xn converge.
Demostración. Demostraremos que la sucesión
n
X
yn =
λk xk
k=1
es de Cauchy en X. Como X es completo, esto es suficiente para concluir
que converge.
Para esto, sean n > m enteros positivos y escribimos
yn − ym =
=
n
X
λk xk =
n
X
k=m+1
k=m+1
n
X
n
X
k=m+1
λk sk −
= λn s n +
n−1
X
k=m+1
λk (sk − sk−1 )
λk sk−1 =
n
X
k=m+1
λk sk −
(λk − λk+1 )sk − λm+1 sm .
k=m+1
n−1
X
k=m
λk+1 sk
34
2. Sucesiones y convergencia
Como (sn ) es acotada, existe M > 0 tal que ||sn || ≤ M para todo n. Como
(λn ) es monónotona y converge a 0, λk ≥ λk+1 ≥ 0 para todo k.
Sea ε > 0. Como λn → 0, existe N tal que, si n ≥ N , λn < ε/2M .
Entonces, si n > m ≥ N ,
||yn − ym || ≤ λn ||sn || +
≤ λn M +
n−1
X
(λk − λk+1 )||sk || + λm+1 ||sm ||
k=m+1
n−1
X
(λk − λk+1 )M + λm+1 M
k=m+1
= λn M + (λm+1 − λn )M + λm+1 M = 2λm+1 M < ε.
Ejemplo 2.28 (Series alternantes). Si an > P
0 tal que (an ) es monótona y
converge a 0, entonces decimos que la serie (−1)n an es alternante. Podemos aplicar el teorema de Dirichlet para conluı́r que dichas series son
convergentes en R, tomando λn = an y xn = (−1)n .
Ejemplo 2.29. Para α ∈ R, consideremos la serie
∞
X
sen nα
(2.4)
.
n
n=1
Supongamos que α 6= 2πk, con k ∈ Z.1 Si tomamos xn = sen nα, tenemos
entonces que
n
n
−inα X
1 X ikα
1 iα 1 − einα
−iα 1 − e
e
xk =
−
e
(e − e−ikα ) =
2i
2i
1 − eiα
1 − e−iα
k=1
k=1
sen α + sen nα − sen(n + 1)α
=
,
2(1 − cos α)
1
la cual es acotada. Como es monótona y converge a cero, entonces la serie
n
(2.4) converge.
Ejemplo 2.30. Sin embargo, no podemos decidir si la serie (2.4) converge
uniformemente en α o no, debido a que el cociente
sen x + sen nx − sen(n + 1)x
(2.5)
fn (x) =
2(1 − cos x)
no es uniformemente acotado en x. De hecho es posible demostrar que existe
una constante c > 0 tal que
Véase la figura 3.
||fn ||u ≥ cn.
1En tal caso la serie serı́a idénticamente cero.
35
4. Espacios de Banach de dimensión finita
35
30
25
20
15
10
5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 3. Gráfica de las funciones fn para n = 10, 20, 50. Se puede apreciar que dicha suma no es uniformemente acotada (de hecho
5n
||fn ||u ≥
, por el ejercicio 12), aunque sı́ acotada para cada x.
3π
4.
Espacios de Banach de dimensión finita
En el ejercicio 8 del capı́tulo 1 definimos el concepto de normas equivalentes: Si || · ||1 y || · ||2 son normas en X, decimos que son equivalentes si
existen c, C > 0 tales que, para todo x ∈ X,
c||x||1 ≤ ||x||2 ≤ C||x||1 .
Si dos normas son equivalentes, entonces inducen métricas homeomorfas, y
por lo tanto las sucesiones convergentes respecto de una son también convergentes respecto a la otra.
En el mismo ejercicio, se demuestra que las normas || · ||E , || · ||M y || · ||T
en Rl son equivalentes. Demostraremos ahora que cualquiera dos normas en
Kl son equivalentes, si K = R o C.
Teorema 2.31. Sean |·||1 y ||·||2 normas en Kl . Entonces son equivalentes.
Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que, por ejemplo, || · ||1 es la métrica del taxi:
||x||T = |x1 | + . . . + |xl |.
(Escribiremos el ı́ndice de la coordenada de cada vector en Kl como superı́ndice.) Sea entonces || · || cualquier norma en Rl . Entonces, para x ∈ Kl ,
||x|| = ||x1 e1 + . . . + xl el || ≤ |x1 | · ||e1 || + . . . + |xl | · ||el ||,
36
2. Sucesiones y convergencia
por las propiedades de norma, donde {e1 , . . . , el } es la base estándar de Kl .
Si tomamos
M = máx{||e1 ||, . . . , ||el ||},
entonces
||x|| ≤ M |x1 | + . . . + M |xl | = M ||x||T .
Para la inversa, demostraremos que, para cada i = 1, . . . , l, existe ci > 0
tal que |xi | ≤ ci ||x||, para todo x ∈ Kl . De esa forma obtendremos que
||x||T = |x1 | + . . . + |xl | ≤ (c1 + . . . + cl )||x||.
Esto lo demostraremos por inducción en l, la dimensión del espacio. El caso
l = 1 es trivial, porque cualquier norma es, de hecho, un múltiplo del valor
absoluto (simplemente hay que notar que, para x ∈ K, ||x|| = |x| · ||1||).
Suponemos ahora que el caso l − 1 es cierto, y demostraremos el caso l.
Por contradicción, y sin pérdida de generalidad, suponemos que, para
cada n, existe un xn ∈ Kl tal que |x1n | > n · ||xn ||. Si tomamos
yn =
x2n
xln
xn
=
e
+
e
+
.
.
.
+
el ,
1
2
x1n
x1n
x1n
entonces yn → 0 con respecto a || · ||, ya que
||yn || =
1
1
||xn || < .
1
|xn |
n
Sea zn = yn − e1 . Luego, zn → −e1 . Pero zn se encuentra en el espacio
generado por {e2 , . . . , el }, llamémoslo V, isomorfo a Kl−1 . Este isomorfismo
induce una norma2 en Kl−1 a partir de la restricción de || · || a V , por lo que
nuestra hipótesis de inducción implica que existen constantes c1 , . . . , cl−1 > 0
tales que
(2.6)
|z i | ≤ ci ||z 1 e2 + . . . z l−1 el ||,
z 1 , . . . , z l−1 ∈ K, i = 1, . . . , l − 1.
Entonces, como (zn ) converge en la norma || · ||, es una sucesión de Cauchy,
y (2.6) implica que cada
ain =
xin
,
x1n
i = 2, . . . , l − 1,
es de Cauchy en K, y por lo tanto converge, digamos, a ai . Entonces la
desigualdad del triángulo implica que zn converge a
a2 e2 + . . . + al el .
2Si φ : V → Kl−1 es un isomorphismo, la norma inducida está dada por
||x||φ = ||φ−1 x||.
4. Espacios de Banach de dimensión finita
37
Por unicidad de lı́mites, −e1 = a2 e2 + . . . + al el , lo cual contradice el hecho
de que {e1 , . . . , el } es una base. Esto termina la demostración del teorema
con las constantes
1
c=
y C = M.
c1 + . . . + cl
Podemos generalizar este resultado a otros espacios vectoriales.
Teorema 2.32. Sean (X, || · ||X ) y (Y, || · ||Y ) dos espacios vectoriales sobre
K de la misma dimensión finita, y sea φ : X → Y un isomorfismo. Entonces,
existen constantes c, C > 0 tales que
c||x||X ≤ ||φ(x)||Y ≤ C||x||X
para todo x ∈ X.
Demostración. Sea l = dim X y ψ : Kl → X un isomorfismo. Definimos
entonces las normas || · ||1 y || · ||2 en Kl por
||x||1 = ||ψ(x)||X ,
||x||2 = ||φ ◦ ψ(x)||Y .
Por el teorema 2.31, existen constantes c, C > 0 tales que
c||x||1 ≤ ||x||2 ≤ C||x||2
para todo x ∈ Kl . Entonces, para x ∈ X,
c||x||X = c||ψ −1 (x)||1 ≤ ||ψ −1 (x)||2 = ||φ ◦ ψ(ψ −1 (x))||Y = ||φ(x)||Y ,
y
||φ(x)||Y = ||φ ◦ ψ(ψ −1 (x))||Y = ||ψ −1 (x)||2 ≤ C||ψ −1 (x)||1 = C||x||X .
Si en el teorema 2.32 X = Y , y tomamos el isomorfismo φ como la
identidad, tenemos entonces el siguiente corolario.
Corolario 2.33. Si X es un espacio vectorial sobre K de dimensión finita,
entonces cualesquiera dos normas en X son equivalentes.
La completitud de Kl (ejemplo 2.17) y el teorema 2.32 implican el siguiente resultado.
Corolario 2.34. Si (X, || · ||) es un espacio normado de dimensión finita,
entonces es un espacio de Banach.
38
2. Sucesiones y convergencia
Demostración. Sea (xn ) una sucesión de Cauchy en X, y demostraremos
que converge. Si dim X = l, tomamos entonces un isomorphismo φ : X → Kl ,
y definimos yn = φ(xn ). (yn ) es entonces una sucesión en Kl .
Por el teorema 2.32, existen constantes c, C > 0 tales que
c||x|| ≤ ||φ(x)||E ≤ C||x||
para todo x ∈ X, donde || · ||E es la norma euclideana en Kl . Entonces, para
todo m, n,
||ym − yn ||E = ||φ(xm − xn )||E ≤ C||xm − xn ||,
lo cual implica que (yn ) es también de Cauchy. Como Kl es completo, (yn )
converge, digamos yn → y. Sea x = φ−1 (y). Como
||xn − x|| ≤
1
||yn − y||E ,
c
xn → x.
Corolario 2.35. Sea X un espacio de Banach y Y un subespacio de dimensión finita. Entonces Y es cerrado en X.
Demostración. Como Y es un espacio normado de dimensión finita, es
entonces completo, por el corolario 2.34. Por el teorema 2.20, Y es cerrado
en X.
Sin embargo, un subespacio de dimensión infinita de un espacio de Banach puede ser cerrado o no (ejercicios 17 y 18).
5.
La completitud de un espacio métrico
A todo espacio métrico (X, d), no necesariamente completo, se le puede
¯ llamado la completitud de X.
asignar un espacio métrico completo (X̄, d),
Considere la colección X de todas las sucesiones de Cauchy en (X, d).
Definimos la siguiente relación de equivalencia:
(xn ) ∼ (yn ) ⇔ lı́m d(xn , yn ) = 0.
n→∞
A la clase de equivalencia de (xn ) la denotaremos por [xn ]. La clase denotada
por [x] corresponderá a la clase que contiene a la sucesión constante xn = x.
Es fácil ver que, si xn → x, entonces [xn ] = [x].
Lema 2.36. Si (xn ) y (yn ) son dos sucesiones de Cauchy en X, entonces
la sucesión d(xn , yn ) converge en R.
39
5. La completitud de un espacio métrico
Demostración. Demostraremos que la sucesión d(xn , yn ) es de Cauchy
en R. Primero, por la desigualdad del triángulo, para todo m, n,
d(xn , yn ) ≤ d(xn , xm ) + d(xm , ym ) + d(ym , yn ),
d(xm , ym ) ≤ d(xm , xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , ym ),
lo cual implica que
|d(xn , yn ) − d(xm , ym )| ≤ d(xn , xm ) + d(yn , ym ).
Como (xn ) y (yn ) son de Cauchy, para cada ε > 0 existe N tal que, para
n, m ≥ N ,
ε
ε
d(xn , xm ) <
y
d(yn , ym ) < .
2
2
Entonces, para n, m ≥ N , tenemos
ε ε
|d(xn , yn ) − d(xm , ym )| ≤ d(xn , xm ) + d(yn , ym ) < + = ε.
2 2
Entonces d(xn , yn ) es de Cauchy en R, y por lo tanto converge.
Sea X̄ = X / ∼ el conjunto de clases de equivalencia bajo la relación ∼.
Definimos la función d¯ en X̄ × X̄ como
(2.7)
¯ n )], [(yn )]) = lı́m d(xn , yn ).
d([(x
n→∞
Observamos que d¯ está bien definida. Esto es, si
(xn ) ∼ (un )
y
(yn ) ∼ (vn ),
entonces lı́m d(xn , yn ) = lı́m d(un , vn ). Este enunciado se sigue de la desigualdad
|d(xn , yn ) − d(un , vn )| ≤ d(xn , un ) + d(yn , vn ),
y el hecho de que d(xn , un ) y d(yn , vn ) convergen a 0.
Teorema 2.37. La función d¯ : X̄ × X̄ → [0, ∞) dada por (2.7) define una
¯ es completo.
métrica en X̄. Además, (X̄, d)
Demostración. Verificamos primero que la función d¯ satisface las propiedades de una métrica:
¯ n ], [yn ]) = 0, entonces lı́m d(xn , yn ) = 0, por
1. Si [xn ], [yn ] ∈ X̄ y d([x
lo que xn ∼ yn y [xn ] = [yn ].
¯ n ], [yn ]) = lı́m d(xn , yn ) = 0.
Si [xn ] = [yn ], entonces d([x
2. Para [xn ], [yn ] ∈ X̄,
¯ n ], [yn ]) = lı́m d(xn , yn ) = lı́m d(yn , xn ) = d([y
¯ n ], [xn ]).
d([x
40
2. Sucesiones y convergencia
3. Si [xn ], [yn ], [zn ] ∈ X̄,
¯ n ], [yn ]) = lı́m d(xn , yn ) ≤ lı́m(d(xn , zn ) + d(zn , yn ))
d([x
= lı́m d(xn , zn ) + lı́m d(zn , yn )
¯ n ], [zn ]) + d([z
¯ n ], [yn ]).
= d([x
¯ donde escribimos el ı́ndice de
Sea [xkn ]k una sucesión de Cauchy en (X̄, d),
k
la sucesión en X̄ como superı́ndice en xn . Debemos mostrar que la sucesión
[xkn ]k converge en X̄, para concluir que X es completo.
Como la sucesión [xkn ]k es de Cauchy, existe un entero K1 tal que, si
k, l ≥ K1 ,
¯ k ]k , [xl ]l ) < 1 .
d([x
n
n
2
¯
Por la definición de d, para cada l ≥ K1 existe un entero N (1, l), el cual
escogemos de tal forma que N (1, l) ≥ N (1, l − 1), tal que n ≥ N (1, l) implica
l
1
d(xK
n , xn ) <
1
2
d(xln , xlm ) <
1
.
2
y, para n, m ≥ N (1, l),
Tal N (1, l) existe porque
l
l
1
¯ K1
lı́m d(xK
n , xm ) = d([xn ]K1 , [xn ]l ) <
n→∞
1
2
y la sucesión (xln )∞
n=1 es de Cauchy para cada l.
Inductivamente, escogemos enteros Kp y N (p, l), l ≥ Kp , de la manera
siguiente: Una vez escogidos Kp−1 y N (p − 1, l), l ≥ Kp−1 , p ≥ 2, escogemos
Kp ≥ Kp−1 tal que k, l ≥ Kp implica
¯ k ]k , [xl ]l ) < 1 ,
d([x
n
n
2p
y, para cada l ≥ Kp , escogemos N (p, l) de tal forma que
N (p, l) ≥ N (p, l − 1) y N (p, l) ≥ N (p − 1, l);
n ≥ N (p, l) implica
d(xn p , xln ) <
1
;
2p
n, m ≥ N (p, l) implica d(xln , xlm ) <
1
.
2p
K
y
41
5. La completitud de un espacio métrico
n
Tomamos entonces la sucesión yn = xK
N (n,Kn ) .
La sucesión yn es de Cauchy en X: Si m > n, tenemos que
Km
Kn
Kn
Km
Kn
n
d xK
N (n,Kn ) , xN (m,Km ) ≤ d xN (n,Kn ) , xN (m,Km ) + d xN (m,Km ) , xN (m,Km )
1
1
1
+
= ,
2n 2n
n
ya que N (m, Km ) ≥ N (n, Kn ).
<
La sucesión [xkn ]k converge a [yn ] en X̄: Si k ≥ Kp y n ≥ N (p, k),
tenemos que
n
d(xkn , yn ) = d(xkn , xK
N (n,Kn ) )
K
K
K
≤ d(xkn , xn p ) + d(xn p , xN p(p,Kp ) )
K
K
K
n
+ d(xN p(p,Kp ) , xN p(n,Kn ) ) + d(xN p(n,Kn ) , xK
N (n,Kn ) )
<
1
1
1
1
2
+
+
+
= ,
2p 2p 2p 2p
p
porque N (p, k) ≥ N (p, Kp ) ≥ p y N (n, Kn ) ≥ N (p, Kp ). Por lo tanto,
¯ k ]k , [yn ]) < 2
d([x
n
p
para k ≥ Kp , y concluı́mos que
lı́m [xkn ]k = [yn ]).
k→∞
Si identificamos cada elemento de x ∈ X con [x] en X̄, tenemos una
inyección j : X → X̄ tal que
¯
d(j(x),
j(y)) = d(x, y),
es decir, que preserva la métrica. Tales funciones son llamadas isometrı́as.
Si identificamos X con j(X) ⊂ X̄, entonces podemos decir que X es un
subespacio de algún espacio métrico completo.
Si X es completo, entonces toda clase de equivalencia en X̄ es igual
a [x] para algún x ∈ X, ya que toda sucesión de Cauchy en X converge.
Por lo tanto, la isometrı́a j : X → X̄ es biyectiva, y su inversa también es
¯ no sólo son homeomorfos, sino que
una isometrı́a. Entonces, (X, d) y (X̄, d)
también decimos que son isométricos.
Si (X, d|X×X ) es un subespacio del espacio completo (Y, d), entonces
¯ es isométrico
podemos indentificar a X̄ con algún subespacio E de Y y (X̄, d)
a (E, d|E×E ). De hecho, E es la cerradura de X en Y . Podemos generalizar
este resultado de la siguiente manera.
42
2. Sucesiones y convergencia
Teorema 2.38. Sean (X, d) y (Y, d0 ) espacios métricos, donde (Y, d0 ) es
un espacio completo, y sea j : X → Y una isometrı́a. Entonces existe una
isometrı́a φ : X̄ → Y tal que φ(X̄) = j(X).
En otras palabras, si podemos identificar isométricamente a X como un
subespacio de Y , entonces podemos identificar a X̄ como la cerradura de X
en Y .
Demostración. Si (xn ) es una sucesión de Cauchy en X, entonces (j(xn ))
es una sucesón de Cauchy en Y y, como Y es completo, converge. Dada
[xn ] ∈ X̄, definiremos entonces φ como
φ([xn ]) = lı́m j(xn ).
n→∞
Para verificar que φ está bien definida, observemos que, si [xn ] = [yn ], entonces d(xn , yn ) → 0 y, por lo tanto, lı́m j(xn ) = lı́m j(yn ) (ejercicio 19).
Para demostrar que φ es una isometrı́a, tenemos que mostrar que
¯ n ], [yn ]) = d0 (lı́m j(xn ), lı́m j(yn )).
d([x
Pero
¯ n ], [yn ]) = lı́m d(xn , yn ) = lı́m d0 (j(xn ), j(yn )),
d([x
por lo que, si j(xn ) → x y j(yn ) → y en Y , el resultado se sigue de la
desigualdad
|d0 (j(xn ), j(yn )) − d0 (x, y)| ≤ d0 (j(xn ), x) + d0 (j(yn ), y).
En términos menos precisos, X̄ es el “menor espacio métrico completo
que contiene a X”. El siguiente corolario se sigue de manera inmediata del
teorema 2.38.
Corolario 2.39. Sea X un espacio métrico y X̄ su completitud. Entonces,
para cada x ∈ X̄ existe una sucesión xn en X tal que xn → x en X̄.
En este corolario, de hecho, estamos identificando a X como subespacio
de X̄.
43
Ejercicios
Ejercicios
1. Muestre la equivalencia de los enunciados posteriores a la definición 2.1.
2. Sea (X, d) un espacio métrico, x ∈ X y (xn ) en X tal que, para cada n,
xn ∈ B1/n (x). Entonces xn → x.
Utilice este hecho para mostrar la veracidad de los siguientes enunciados:
1
n → 0, en R.
2n
n+1 → 2, en R.
Si a, b, c, d > 0, entonces
an + b
a
→ .
cn + d
c
3. Sea (xn ) una sucesión en el espacio métrico (X, d) y N > 0 tal que, para
todo n, m ≥ N , d(xn , xm ) ≥ ε0 > 0. Entonces (xn ) no tiene ninguna
subsucesión convergente.
4. Sea (xn ) una sucesión de Cauchy en el espacio discreto X. Entonces
converge.
5. Sea (x1n , . . . , xln ) una sucesión en Rl . Entonces (x1n , . . . , xln ) converge a
(x1 , . . . , xl ) ∈ Rl si, y sólo si, cada (xin ) converge a (xi ) en R.
6. Sea (X, || · ||) un espacio normado y (xn ), (yn ) sucesiones en X tales que
xn → x y yn → y. Entonces
xn + yn → x + y;
Para λ, µ ∈ K, λxn + µyn → λx + µy.
7. En este ejercicio mostraremos la completitud de R a partir del axioma
* Sea S 6= ∅ un subconjunto de R acotado por arriba. Entonces S
tiene un supremo, es decir, una mı́nima cota superior.
Siga los siguientes pasos:
El axioma (*) es equivalente al siguiente enunciado: Sea S 6= ∅ un
subconjunto de R acotado por debajo. Entonces S tiene un ı́nfimo,
es decir, una máxima cota inferior.
Toda sucesión en R tiene una subsucesión monótona.
Una sucesión monótona acotada converge en R.
Toda sucesión de Cauchy converge en R.
8. Sean (X, d) y (X, d0 ) espacios métricos homeomorfos (es decir, U ⊂
X es abierto en (X, d) si, y sólo si, es abierto en (X, d0 )). Entonces
(X, d) y (X, d0 ) tienen las mismas sucesiones convergentes; es decir, (xn )
converge en (X, d) si, y sólo si, converge en (X, d0 ). Esto quiere decir que
convergencia es una propiedad topológica.
44
2. Sucesiones y convergencia
9. Sin embargo, completitud no es una propiedad topológica; es decir, existe
un espacio X con métricas d y d0 tales que (X, d) y (X, d0 ) son homeomorfos, pero uno es completo y otro no.
10. Sin embargo, si (X, || · ||) y (X, || · ||0 ) son homeomorfos, muestre que
(X, || · ||) es completo si y sólo si (X, || · ||0 ) lo es.
11. Sea (fn ) una sucesión de funciones en C([0, 1]) dadas por

√
1

 n si 0 ≤ x <
n
fn (x) =
1
1

√
si ≤ x ≤ 1.
x
n
Entonces (fn ) es de Cauchy en C([0, 1]), || · ||1 , pero no converge.
12. Considere las funciones

 sen x + sen nx − sen(n + 1)x
2(1 − cos x)
fn (x) =

0
x 6= 2πk, k ∈ Z
x = 2πk, k ∈ Z.
a) (fn (x)) es acotada para cada x ∈ R;
b) (fn ) no es uniformemente acotada; de hecho
π 5n
≥
fn
n
3π
para n ≥ 4. (Sugerencia: Considere los primeros términos de las
series de Taylor de sen y cos alrededor de 0.)
P
P
13. Dada una serie ∞
xn es la serie
n=1 xn , un reordenamiento de
∞
X
xφ(n) ,
n=1
P
donde φ : Z+ → Z+ es una biyección. Suponga que la serie
an converge a a0 en R, pero que no es absolutamente convergente.
Muestre
P
P
que, P
para todo x ∈ R, existe un reordenamiento
aφ(n) de
an tal
que
aφ(n) converge a x.
P
14. Sea
xn una serie en un espacio de Banach que converge absolutamente,
y
digamos
converge a x. Muestre que todos los reordenamientos de
P
xn convergen
a x. (Sugerencia:
Si φ : Z+ → Z+ es una biyección,
P
P
entonces
||xφ(n) || = ||xn ||.)
15. Sea fn (x) = an x2 + bn x + cn una sucesión de polinomios cuadráticos tal
que
Z 1
|fn (x)|dx → 0.
0
Entonces las sucesiones (an ), (bn ) y (cn ) convergen a 0 en R.
45
Ejercicios
16. Sea r ∈ Z+ y Pr el conjunto de polinomios de grado menor que r. Si
(fn ) es una sucesión en Pr que converge uniformemente a f en [0, 1],
entonces f ∈ Pr .
17. Considere los polinomios
1
1
1
fn (x) = 1 + x + x2 + . . . n xn .
2
4
2
La sucesión (fn ) converge uniformemente en [0, 1], pero su lı́mite no es
una función polinomial. (Sugerencia: Utilice el criterio M de Weiestrass.)
18. Sea H el subespacio de C([0, 1]) dado por las funciones f : [0, 1] → R
que satisfacen
f (1 − x) = f (x)
para x ∈ [0, 1] (dichas funciones son llamadas
pares en [0, 1]). H es un
subespacio cerrado de C([0, 1]), || · ||u de dimensión infinita.
19. Sean (xn ) y (yn ) sucesiones en el espacio métrico (X, d) tales que
lı́m d(xn , yn ) = 0.
Entonces (xn ) converge si, y sólo si, (yn ) converge, y en tal caso (xn ) y
(yn ) tienen el mismo lı́mite.
¯ de
20. Sea (X, || · ||) un espacio normado y considere la completitud (X̄, d)
(X, || · ||), construı́da en la sección 5. Entonces X̄ es un espacio vectorial
con las operaciones
[xn ] + [yn ] = [xn + yn ],
λ[xn ] = [λxn ],
y se puede normar con
||[xn ]||0 = lı́m ||xn ||.
Además, ||·||0 induce la métrica d¯ y, por lo tanto, (X̄, ||·||0 ) es un espacio
de Banach.
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