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DEMOSTRACIÓN SENCILLA DEL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

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DEMOSTRACIÓN SENCILLA DEL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
DEMOSTRACIÓN SENCILLA DEL
ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
DEMOSTRACCIÓN SENCILLA DEL TEOREMA DE FERMAT
POR: JOSÉ WILLIAM PORRAS FERREIRA
Soy Vicealmirante retirado de la Marina Colombiana, efectué estudios de pregrado en
la Escuela Naval de Cadetes de Colombia, obteniendo el título de Ingeniero Naval
especialidad Electrónica y de postgrado en la Universidad de la Marina de los Estados
Unidos (Naval Postgraduate School), en Monterey California, obteniendo los títulos de
Master en Ingeniería Electrónica y Electrical Engineer (EE). He escrito dos libros:
“Colombia Marinera hacia una cultura y mentalidad marítima” y “El tiempo y el
Universo: ¿abierto o cerrado?”, traducido también al inglés “Time and the Universe
¿Open or Closed?”.
Mi pasión por las matemáticas me llevaron a tratar de hallar una forma sencilla de
demostrar el teorema de Fermat, la cual creo haber encontrado después de múltiples
intentos e investigaciones.
En esta demostración primero comenzaré con el enunciado del teorema de Fermat,
una breve reseña histórica, la definición de lo que es un número natural, el conjunto de
los números, como se calculan las ternas pitagóricas y finalmente la demostración,
para que el lector le quede mucho más fácil su entendimiento y comprensión.
Realmente no se requieren grandes conocimientos matemáticos para entender esta
demostración, lo máximo sería poseer algunas bases algebraicas relacionadas con el
Teorema de Pitágoras, expresión de ecuaciones y un análisis de su comportamiento,
cuando comparamos con n=2 y n>2.
1. ULTIMO TEOREMA DE FERMAT
INTRODUCCIÓN
En teoría de números, el último teorema de Fermat, o teorema de Fermat-Wiles, es
uno de los teoremas más famosos en la historia de la matemática. Utilizando la
notación moderna, se puede enunciar de la siguiente manera:
Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números naturales a, b y
c, tales que se cumpla la igualdad (a,b>0):
aⁿ + bⁿ = cⁿ
Pierre de Fermat1
El teorema fue conjeturado por Pierre de Fermat en 1637, pero no fue demostrado
hasta 1993 por Andrew Wiles ayudado por Richard Taylor. La búsqueda de una
demostración estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo
XIX y la demostración del teorema de la modularidad en el siglo XX.
1
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Fermat.html
Cubum autem in duos cubos, aut
quadratoquadratum
in
duos
quadratoquadratos, et generaliter nullam in
infinitum ultra quadratum potestatem in
duos eiusdem nominis fas est dividere cuius
rei demonstrationem mirabilem sane detexi.
Hanc marginis exiguitas non caperet.
Es imposible descomponer un cubo en
dos cubos, un bicuadrado en dos
bicuadrados, y en general, una potencia
cualquiera, aparte del cuadrado, en dos
potencias del mismo exponente. He
encontrado una demostración realmente
admirable, pero el margen del libro es
muy pequeño para ponerla.
Pierre de Fermat2
Sir Andrew John Wiles KBE FRS (n. Cambridge, Inglaterra, 11 de abril de 1953) es un
matemático británico. Alcanzó fama mundial en 1993 por la demostración del último
teorema de Fermat3.
Wiles pudo demostrar el último teorema de Fermat a partir de la conexión, esbozada
por Frey, y demostrada por Ken Ribet en 1985, de que una demostración de la
llamada Conjetura de Taniyama-Shimura conduciría directamente a una
demostración del último teorema de Fermat. En resumen, la conjetura de TaniyamaShimura establece que cada curva elíptica puede asociarse unívocamente con un
objeto matemático denominado forma modular. Si el último teorema de Fermat fuese
falso, entonces existiría una curva elíptica tal que no puede asociarse con ninguna
forma modular, y por lo tanto la conjetura de Taniyama-Shimura sería falsa. Por lo
tanto, Taniyama-Shimura demuestra el último teorema de Fermat.
La demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura suponía ya de por sí un reto de
suma importancia, ya que constituía uno de los puntos del llamado Programa
Langlands, cuyo objetivo consiste en unificar áreas de las matemáticas que
aparentemente no tienen relación entre sí. Wiles pasó los 8 años siguientes a la
demostración de Ribet en completo aislamiento trabajando en el problema, lo cual es
un modo de trabajo inusual en matemáticas, donde es habitual que matemáticos de
todo el mundo compartan sus ideas a menudo. Para no levantar sospechas, Wiles fue
publicando artículos periódicamente, como haría cualquier matemático de cualquier
universidad del mundo.
En 1993, Wiles creyó que su demostración estaba cerrada:
“Uno entra en la primera habitación de una mansión y está en la oscuridad. En
una oscuridad completa. Vas tropezando y golpeando los muebles, pero poco a
poco aprendes dónde está cada elemento del mobiliario. Al fin, tras seis meses
más o menos, encuentras el interruptor de la luz y de repente todo está
iluminado. Puedes ver exactamente dónde estás. Entonces vas a la siguiente
2
Durán Guardeño, Antonio José. «I. Matemáticas y matemáticos en el mundo griego». El legado de las
matemáticas. De Euclides a Newton: los genios a traves de sus libros. Sevilla. pp. 65-67. ISBN 9788492381821.
http://books.google.es/books?id=oH07PIAJJJ0C&pg=PA65.
3
Andrew Wiles (May 1995). «Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem» (PDF). Annals of Mathematics
141 (3): pp. 443–551. doi:10.2307/211855
habitación y te pasas otros seis meses en las tinieblas. Así, cada uno de estos
progresos, aunque a veces son muy rápidos y se realizan en un solo día o dos,
son la culminación de meses precedentes de tropezones en la oscuridad, sin los
que el avance sería imposible”.
El siguiente gráfico muestra una representación de la ecuación de Fermat:
Dado que Wiles utilizó más de 100 páginas y modernas técnicas matemáticas, es en la
práctica imposible que esta demostración sea la misma que insinuó Fermat. (Fermat
poseía un ejemplar de la Arithmetica de Diofanto en cuyos márgenes anotaba las
reflexiones que le iban surgiendo. En uno de estos márgenes enunció el teorema y
escribió: “Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis
exiguitas non caperet”, cuya traducción es: “Poseo una demostración en verdad
maravillosa para este hecho, pero este margen es demasiado estrecho para
contenerla”. Fermat llegó a demostrar el caso n = 4 mediante el método de descenso
infinito; es probable que se haya engañado al creer que tenía una prueba para el caso
general. Puede ser incluso que se haya percatado de su error ulteriormente: sus notas
marginales eran de uso personal, y por lo tanto Fermat no hubiera tenido que
desdecirse con sus correspondientes.
Estos antecedentes me hicieron pensar que si existe una demostración sencilla, que
inexplicablemente ha pasado desapercibida ante la comunidad científica, la cual
procederé a demostrarlo.
2. DEFINICIONES
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los
elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó
el ser humano para contar objetos.



La Real Academia Española los define como "Cada uno de los elementos de la
sucesión 0, 1, 2, 3..." 4
Es el conjunto de los números enteros no negativos.
Un número natural es un símbolo que indica una cantidad.
El conjunto de los números naturales se representa por
conjunto numérico:5
y corresponde al siguiente
(no está incluido el cero)
Fijese que la Real Académia Española si incluye el cero dentro de los números
naturales.
Los números naturales x,y,z, son un conjunto cerrado para las operaciones de la
adición (z=x+y) y la multiplicación (z=xy), ya que al operar con cualquiera de sus
elementos, resulta siempre un número perteneciente a . Para la resta (z=y-x), y debe
ser mayor que x. Para la división (z=y/x) y debe ser un múltiplo entero de x y para:
xy, debe ser un número que se le pueda extraer en forma exacta su raíz n o si no z
será un número fraccionario con una mantisa de números infinita. La mantisa es la
parte decimal del número fraccionario.
4
5
Definición de la Real Academia Española
Hurtado, F. (2 de 1997) (en español). Atlas de matemáticas (1 edición). Idea Books, S.A.. pp. 12. ISBN 978-848236-049-2
El siguiente diagrama muestra la ubicación de los números naturales dentro del
conjunto de los números en general:
3. TERNAS PITAGÓRICAS
La manera fácil de encontrar las ternas pitagóricas x,y,z es de la siguiente manera:
El teorema de Pitágoras dice que en la siguiente ecuación:
x² + y² = z²
(1)
Se pueden encontrar números naturales x,y,z>0 que cumplan dicha ecuación.
En la ecuación 1, una de las dos variables x,y deben ser mayor que la otra y no pueden
ser iguales, porque cuando son iguales daría z²=2x²=2y² y z no sería un número
natural, (la raíz cuadrada de dos es un número fraccionario con una mantisa infinita,
que al multiplicarse por un número natural, sigue siendo fraccionario.
Asumiendo que x es la menor de las variables x,y, z debe ser mayor que y (z>y) para
que la ecuación 1 tenga solución, es decir z>y>x y por lo tanto podemos escribir que:
z = y +m
(2)
para x>m>0. Si m igual o mayor que x, la ecuación 1 no tendría solución al dar z<y,
veamos:
x² +y² = (y + m)² = y² +2ym + m²
x² = 2ym + m²
Luego m debe ser menor que x, para que haya solución (x>m>0) de la ecuación 1.
La importancia de la ecuación 2 radica en que cuando m sea un número natural siendo
m>0, podemos encontrar las ternas pitagóricas, porque z estaría entre los números
naturales, el resto de valores de m (es decir número fraccionario), z sería también un
número fraccionario.
Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1 nos queda:
x² + y² = (y + m)² = y² + 2ym + m²
(x² - m²)/(2m) = y
(3)
Las bases menores de x,y,z como ternas pitagór
icas y x impar, se encuentran reemplazando a m=1 en las ecuaciones 2 y 3, quedando:
z= y + 1
(4)
(x² - 1)/2 = y
(5)
Las bases menores de x,y,z como ternas pitagóricas y x par, se encuentran
reemplazando a m=2 en las ecuaciones 2 y 3:
z=y + 2
(6)
(x² - 4)/4 = y
(7)
Las ecuaciones 4,5,6 y 7 nos permite encontrar todas las ternas pitagóricas de bases
menores a,b,c, donde los valores de a,b,c corresponden a los valores encontrados
para x, y, z respectivamente con dichas ecuaciones.
Las bases mayores de x,y,z como ternas pitagóricas se calculan mediante la ecuación
8, para k>1, siendo k un número entero y a,b,c las ternas pitagóricas de bases
menores. Cuando a es impar m=k y cuando a es par m=2k:
(ak)² + (bk)² = (ck)² = z²
(8)
Las siguientes tablas No. 1 y 2 y figuras Nos. 1,2 y 3 nos da ejemplos de lo anterior:
Tabla No.1 Cálculo de Ternas pitagóricas de bases mayores con x=a impar
TERNAS PITAGÓRICAS DE BASES MENORES x impar k=1 (m=1 ecuaciones 4 y 5)
a=3 a=5
a=7
a=9
a=11
a=13
a=15
a=17
a=19
b=4 b=12 b=24
b=40
b=60
b=84
b=112
b=144
b=180
c=5 c=13
c=25
c=41
c=61
c=85
c=113
c=145
c=181
….
….
….
TERNAS PITAGÓRICAS DE BASES MAYORES: ECUACIÓN 8 k=2 (m=2 ecuaciones 6 y 7)
x
6
10
14
18
22
26
30
34
38
y
8
24
48
80
120
168
224
288
360
z
10
26
50
82
122
170
226
290
362
….
….
….
x
y
z
x
y
z
TERNAS PITAGÓRICAS DE BASES MAYORES: ECUACIÓN
9
15
21
27
33
39
12
36
72
120
180
252
15
39
75
123
183
255
8 k=3 (m=3 ecuaciones 2 y 3)
45
51
57
….
336
432
540
….
339
435
543
….
TERNAS PITAGÓRICAS DE BASES MAYORES: ECUACIÓN 8 k=4 (m=4 ecuaciones 2 y 3)
x 12
20
28
36
44
52
60
68
76
y
16
48
96
160
240
336
448
576
720
z
20
52
100
164
244
340
452
580
724
….
….
….
Tabla No. 2 Cálculo de ternas pitagóricas de bases mayores con x=a par
TERNAS PITAGÓRICAS DE BASES MENORES x par k=1 (m=2 ecuaciones 6 y 7)
x a=6 a=8
a=10
a=12
a=14
a=16
a=18
a=20
a=22
a=24
y b=8 b=15 b=24
b=35
b=48
b=63
b=80
b=99
b=120 b=143
z c=10 c=17 c=26
c=37
c=50
c=65
c=82
c=101
c=122
c=145
x
y
z
TERNAS PITAGÓRICAS DE BASES MAYORES: ECUACIÓN 8 k=2 (m=4 ecuaciones 2 y 3)
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
16
30
48
70
96
126
160
198
240
286
20
34
52
74
100
130
164
202
244
290
x
y
TERNAS PITAGÓRICAS DE BASES MAYORES: ECUACIÓN 8 k=3 (m=6 ecuaciones 2 y 3)
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
24
45
72
105
144
189
240
297
360
429
z
30
51
78
111
150
195
246
303
366
435
x
y
z
TERNAS PITAGÓRICAS DE BASES MAYORES: ECUACIÓN 8 k=4 (m=8 ecuaciones 2 y 3)
24
32
40
48
56
64
72
80
88
96
32
60
96
140
192
252
320
396
480
572
40
68
104
148
200
260
328
404
488
580
Figura No.1. Representación gráfica de la ecuación 2.
Figura No. 2 Representación gráfica de las ternas pitagóricas de bases menores a,b,c
y bases mayores ak,bk,ck para x impar (x=a=3, y=b=4, z=c=5, m=1)
Figura No. 3 Representación gráfica de las ternas pitagóricas de bases menores a,b,c
y bases mayores ak,bk,ck para x par (x=a=8, y=b=15, z=c=17, m=2)
Este método es sencillo pero tan valioso, que por ejemplo con x=24, solo hay cuatro
soluciones de y>x entre los números naturales para que z sea un número natural y son
y=,143,70,45,32 y z=145,74,51,40 respectivamente, valores todos obtenidos con las
formulas 4,5,6,7 y 8, (ver números resaltados en rojo en la tabla No. 2), soluciones con
m=2,4,6,8 todos divisores de 24. Los valores y<x y z número natural son equivalentes y
dan el mismo z, simplemente es como si hubiese puesto z²=y² + x² siendo x>y. (por
ejemplo x=24, y=18, z=30 es equivalente a y=24, x=18, z=30 por lo que no se tienen
en cuenta soluciones con x>y ya que se ha considerado siempre x<y), por eso aunque
m=12 es divisor de 24 y da solución x=24, y=18, z=30 no se tiene en cuenta al ser x>y,
además correspondería a una terna pitagórica similar de x=18, y=24 y z=30.
Existen otras bases menores que pueden también ser obtenidas con m>2 o con las
siguientes ecuaciones6:
x²+y²=z²
x=2uv
(9)
y=u²-v²
z=u²+v²
Donde u y v son números primos entre sí, uno de ellos es par y el otro impar.
Ejemplo con m=8 obtenemos de la ecuación 3: x=20, y=21
z-y=m=8=2v²
v=2
u=20/4=5
z=2²+5²=29
A este método se le llama la sucesión de los números primos
(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,….)7. Los valores x,y>0 y números naturales por
debajo de la base menor dan a z fraccionario con m fraccionario o x,y>0 fraccionarios
con m entero. Ver figura No. 4a. La tabla No. 3 muestra cálculos de ternas pitagóricas
de bases menores con este método.
6
7
Rademacher, H. y Toeplitz, O., "Números y Figuras", Alianza Editorial, Madrid, 1970.
Carmichael, R. D., "The Theory of numbers and Diophantine Analysis", Dover, N.Y., 1959.
Todos los números x,y, que no estén dentro de la terna pitagórica (bases menores y/o ,
bases mayores), z es fraccionario con mantisa infinita, su cálculo proviene de una raíz
de 2, (z= ² x²+y²), es decir m de la ecuación 2 es fraccionario con una mantisa infinita
siendo x,y>0 números naturales:
z (fraccionario con mantisa infinita)= y (número natural) + m (cuya mantisa debe ser
también infinita). Ver figura 4.b para los casos x impar (m=1) y x par (m=2)
Figura 4a. Casos de bases menores con el método de sucesión de números primos.
Figura No. 4b Gráfico que muestra a z para n=2 cuando es número natural y cuando es
número fraccionario, siendo x impar (m=1) o x par (m=2).
Tabla No. 3. Ternas Pitagóricas menores y mayores obtenidas con el método de
sucesión de números primos.
Ternas pitagóricas de base menor calculadas con sucesión de números primos
m=8 v=2, u=3 v=2, u=5 v=2, u=7 v=2, u=11 v=2, u=13 v=2, u=17 v=2, u=19 v=2, u=23 v=2, u=29
x
5
20
28
44
52
68
76
92
126
y
12
21
45
117
165
285
357
525
837
z
13
29
53
225
173
293
365
533
845
x
y
z
Ternas pitagóricas de base mayor calculadas con sucesión de números primos k=2 (m=16)
10
40
56
88
104
136
152
184
252
24
42
90
234
330
530
714
1050
1674
26
58
106
450
346
546
730
1066
1690
Otro importante análisis es que ξ y β (gráfico de la ecuación de Fermat), permanecen
constantes tanto para la terna pitagórica de bases menores, como su proyección en las
ternas pitagóricas de bases mayores mayores:
ξ= x/z = (xk)/(zk) = ak/ck = a/c
β= y/z =(yk)/(zk) = bk/ck = b/c
La importancia de las ecuaciones 4,5,6,7,8 y 9, radica en que podemos encontrar
cualquier terna pitagórica en forma sencilla. Esto es importante, porque nos facilitará
demostrar que el teorema de Fermat es cierto, también en forma sencilla.
4. DEMOSTRACIÓN SENCILLA DEL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT:
Decía Fermat:
“Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados,
y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del
mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el
margen del libro es muy pequeño para ponerla”.
En la demostración siempre asumiremos que x<y por lo tanto z>y
Haremos por partes la demostración:
Primera parte: “Es imposible descomponer un cubo en dos cubos”.
x³ + y³ = z³
(10)
Por Pitágoras sabemos que existen soluciones para x,y,z>0 como números naturales
en:
x² + y² = z²
(11)
Y z de la ecuación 10 la podemos descomponer en:
x³ + y³ = z²z
(12)
Reemplazando z² de la ecuación 11 en la ecuación 12:
x³ + y³ = (x² + y²)z
x²x + y²y = x²z + y²z
(13)
Para que esta ecuación sea cierta, el valor de z estaría solo entre x y y, es decir x<z<y,
lo cual nos conduce a un imposible de la ecuación 10 donde z>y, luego no puedo
descomponer un cubo en dos cubos. Desde el punto de vista geométrico, la base de un
cubo es un cuadrado y en la figura No. 5 vemos que z³ no lo puedo descomponer en
dos cubos, porque cuando lo hago conduce a una desigualdad de la ecuación 9 y el
cubo real x³+y³ es una fracción del cubo z³.
Figura No. 5. Descomposición de z³ en dos cubos
Segunda parte: “Es imposible descomponer un bicuadrado en dos bicuadrados”
x⁴ + y⁴ = z⁴
(14)
Y z la podemos descomponer en:
x⁴ + y⁴ = z²z²
Por Pitágoras sabemos que:
x² + y² = z²
x⁴ + y⁴ = (x² + y²)(x² + y²)
x⁴ + y⁴ = x⁴ + 2x²y² + y⁴
2x²y² = 0
Lo cual es falso para x,y>0, luego z⁴ no se puede descomponer en dos bicuadrados
que era lo que decía Fermat.
Tercera parte: “no se puede descomponer en general, una potencia cualquiera, aparte
del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente”.
xⁿ + yⁿ = zⁿ
(15)
En esta demostración incluiremos que la solución de z para xⁿ + yⁿ = zⁿ, x,y>0, z no es
un número natural.
Si la ecuación 15, es cierta para x,y>0, n>2 y z sea un número natural, la podemos
escribir como:
xⁿ +yⁿ = z²zⁿ⁻²
(16)
Reemplazando z² de la ecuación 11 en la ecuación 15 tenemos:
xⁿ +yⁿ =(x² +y²)zⁿ⁻²
xⁿ + yⁿ = x²zⁿ⁻² + y²zⁿ⁻²
x²xⁿ⁻² + y²yⁿ⁻² = x²zⁿ⁻² + y²zⁿ⁻², para que esta ecuación sea cierta:
xⁿ⁻²<zⁿ⁻²<yⁿ⁻²
Es decir x<z<y
(17)
Lo cual nos conduce a una imposibilidad de la ecuación 15, porque z>y, luego zⁿ no se
puede descomponer en dos números xⁿ + yⁿ que era lo que decía Fermat.
Es posible que Fermat haya llegado a la ecuación 17 y sacado la conclusión
generalizada de su teorema, por lo que escribió entusiasmado en el ejemplar de la
Arithmetica de Diofanto, en cuyos márgenes anotaba las reflexiones que le iban
surgiendo:
“Poseo una demostración en verdad maravillosa para este hecho, pero este margen es
demasiado estrecho para contenerla”.
DEMOSTRACIÓN QUE Z NO PUEDE SER UN NÚMERO NATURAL:
a. Demostración que (z para n=2)>(z para n>2)>(z para n+1)
Reemplacemos la ecuación 8 en la ecuación 15 y llevémosla a la forma general para
n>2 con las ternas pitagórica y nos queda:
(3k)ⁿ+(4k)ⁿ=(5k)ⁿ o (8k)ⁿ +(15k)ⁿ = (17k)ⁿ, …….
3ⁿkⁿ + 4ⁿkⁿ = 5ⁿkⁿ o 8ⁿkⁿ +15ⁿkⁿ = 17ⁿkⁿ, ……..
(3ⁿ + 4ⁿ)kⁿ = 5ⁿkⁿ o (8ⁿ +15ⁿ)kⁿ = 17ⁿkⁿ, ……..
3ⁿ+4ⁿ=5ⁿ o 8ⁿ + 15ⁿ = 17ⁿ, ……
Para n>2, no existe solución (solo para n=2), ya que siempre:
3ⁿ+4ⁿ< 5ⁿ o 8ⁿ + 15ⁿ < 17ⁿ
para n>2
Y por lo tanto:
(3k)ⁿ+(4k)ⁿ < (5k)ⁿ, o (8k)ⁿ + (15k)ⁿ < (17k)ⁿ
para n>2.
Y en general:
xⁿ + yⁿ < zⁿ para n>2
(18)
Siendo x,y,z solución de ternas pitagóricas para n=2.
Es decir si no se cumple para la base menores del teorema de Pitágoras para n>2,
tampoco se cumple para las bases mayores x=3k, y=4k y z=5k o x=8k, y=15k, y
z=17k, etc
Aquí es importante resaltar entonces la siguiente conclusión:
Para cualquier valor de x,y>0,de la ecuación 15:
(z para n=2)>(z para n>2)>(z para n+1)
(19)
La siguiente tabla muestra lo anterior:
Tabla No.4 Comprobación de que z²>z³>z⁴>z⁵>z⁶>…. Siendo zⁿ=xⁿ+yⁿ
Tabla que muestra: (z para n=2)>(z para n=3)>(z para n=4)>(z para n=5>(….)
x y z para n=2 z para n=3 z para n=4 z para n=5
….
3 4
5
4.4979
4.2846
4.1740
….
8 15
17
15.7231
15.2946
15.1273
….
12 18
21.6333
19.6264
18.8297
18.4509
….
En la tabla No. 4 es claro que 5>4.4979>4.2846>4.1740 donde 5 corresponde a un
valor de z para n=2 y perteneciente a la terna pitagórica 3,4,5; 4.4979 corresponde al
valor de z para n=3, 4.2846 corresponde al valor de z para n=4 y 4.1740 corresponde
al valor de z para n=5, igualmente 17>15.7231>15.2946>15.1273 donde 17
corresponde al valor de z para n=2 y pertenecientes a las ternas pitagóricas 8,15,17;
15.7231 corresponde al valor de z para n=3, 15.2946 corresponde al valor de z para
n=4 y 15.1273 corresponde al valor de z para n=5, y finalmente para ternas no
pitagóricas, 21.6333 corresponde al valor de z para n=2, 19.6264 corresponde al valor
de z para n=3, 18.8297 corresponde al valor de z para n=4 y 18.4509 corresponde al
valor de z para n=5.
b. Valores posibles de z
Caso x=y
La ecuación 15 quedaría:
xⁿ + xⁿ = zⁿ
2xⁿ = zⁿ
El coeficiente de x corresponde a un número fraccionario con una mantisa de
números infinita, para cualquier valor de n y por lo tanto z también es un número
fraccionario y como tal, no corresponderá a un número natural.
Caso z = y+q
(20)
Donde q debería ser un número natural sin incluir el 0 para que z sea también
un número natural. Si q es un número fraccionario, z también lo sería y quedaría
demostrado el último teorema de Fermat.
Reemplazando la ecuación 19 en la ecuación 14 nos queda:
xⁿ+ yⁿ = yⁿ + p + qⁿ
xⁿ = p + qⁿ
(21)
Donde n!, k! y (n –k)! significan que son números factoriales.
En la ecuación 21 es claro que q<x para que se cumpla la igualdad, además
esta ecuación me permite calcular el valor de q para n>2.
Como ejemplo calculemos dos valores de q:
Primero cuando x=3, y=4, y n=3
La ecuación 21 quedaría:
27 = 48q +12q² + q³
q = 0.497941445275414……
Segundo cuando x=8, y=15 y n=3
La ecuación 21 quedaría:
512 = 675q + 45q² + q³
q=0.7231001316563….
Ahora comparemos la ecuación 2 (de las ternas pitagóricas) con la ecuación 20
para conocer que rango de valores podría tener q:
z = y +m
(2)
z = y+q
(20)
1. La variable m de la ecuación 2 me permite calcular z para hallar las ternas
pitagóricas. (x,y>0), cuando m>0 y sea un número natural, o para el resto
de ternas no pitagóricas siendo m un número fraccionario.
2. La variable q de la ecuación 20 me permite calcular z para hallar las
ternas de la ecuación 15. (x,y>0) y z sería un número natural solo si q lo
es.
3. La variable z de cualquier terna pitagóricas es siempre mayor que la
variable z de la ecuación 15 (demostrado en la ecuación 19). Por lo tanto
m>q. Es decir cuando m=1, todos los valores de q estan en 0<q<1, y z
sería un número fraccionario, siendo x impar (tabla 5). Cuando x es par
m=2 q también es menor de 1, lo cual lo comprobamos mediante la
tabla 6, lo que nos indica que no hay bases menores con x,y>0 y z entre
los numeros naturales para n>2, como si existe para m=1,2 y n=2.
La figura No. 6 nos muestra el comportamiento de q¹ para n>2, cuando
m=1, x impar, n=2 y cuando m=2, x par n=2.
TABLA No. 5: TERNAS PITAGÓRICAS DE BASES MENORES x inpar k=1 (m=1 ecuaciones 4 y 5)
x
3
5
7
9
11
13
15
17
19
y
4
12
24
40
60
84
112
144
180
z
5
13
25
41
61
85
113
145
181
q
para
n=3
0.4979 0.2826
0.1969
0.1513
0.1230
0.1037
0.0896
0.0789
0.0705
z para n=3 4.4979 12.2826 24.1969 40.1513 60.1230 84.1037 112.0896 144.0789 180.0705
q
para
n=4
0.2846 0.0894
0.0433
0.0256
0.0169
0.0120
0.0090
0.0070
0.0056
z para n=4 4.2846 12.0894 24.0433 40.0256 60.0169 84.0120 112.0090 144.0070 180.0056
q
para
n=5
0.1740 0.0300
0.0101
0.0046
0.0025
0.0015
0.0010
0.0007
0.0005
z para n=5 4.1740 12.0300 24.0101 40.0046 60.0025 84.0015 112.0010 144.0007 180.0005
TABLA No. 6: TERNAS PITAGÓRICAS DE BASES MENORES x par k=1 (m=2 ecuaciones 6 y 7)
x
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
y
8
15
24
35
48
63
80
99
120
143
z
10
17
26
37
50
65
82
101
122
145
0.225
q para n=3 0.996 0.723 0.565 0.464 0.394 0.342 0.303 0.271 0.246
z para n=3 8.996 15.723 24.565 35.464 48.394 63.342 80.303 99.271 120.246 143.225
0.028
q para n=4 0.569 0.295 0.179 0.120 0.087 0.065 0.051 0.041 0.034
z para n=4 8.569 15.295 24.179 35.120 48.087 63.065 80.051 99.041 120.034 143.028
q para n=5 0.348 0.127
0.060
0.033
0.020
0.013
0.009
0.007
0.005
0.004
z para n=5 8.348 15.127 24.060 35.033 48.020 63.013 80.009 99.007 120.005 143.004
Figura No. 6 Comportamiento de q¹ para n>2 siendo m=1, x impar, n=2 y m=2, x par
n=2.
Reemplazando q¹=0<q<1 en la ecuación 20:
z= y + q¹ (z sería fraccionario al ser q¹ siempre fraccionario)
(22)
Reemplazando a x=a y y=b (a,b pertenecen a las ternas pitagóricas de
bases menores), z= ⁿ aⁿ + bⁿ , la ecuación 22 quedaría:
ⁿ aⁿ + bⁿ = b + q¹
Como q¹ es fraccionario, el valor ⁿ aⁿ + bⁿ debe ser fraccionario y al
provenir su cálculo de un radical, su mantisa es infinita y por lo tanto la
mantisa de q¹ es infinita.
4. Igual que la ecuación 8, las bases mayores para n>2 se encuentran con
ak,bk,ck donde m=k para x impar y m=2k para x par, (donde a,b,c
serían las bases menores para n>2). En este caso a,b son los mismos x,
y tanto de la ecuación 1 como de la ecuación 15, el que varía es c (c=y+1
o c=y+2) para las ternas pitagóricas de bases menores con n=2 y c=y+q¹
para las bases menores con n>2). O sea las bases mayores de z para
n>2 serían:
z=ck= bk + q¹k
(23)
Al tener q¹ una mantisa infinita, el valor de q¹k siempre será fraccionario y
z será por lo tanto fraccionario para todas las bases mayores de z para
n>2. Ver las tablas 7 y 8 (para x impar y x par):
Tabla No. 7 Cálculo de q, z para diferentes valores de n y m siendo x impar
m=100
m=1000
m=1.000.000
x
3
300
3000
3000000
y
4
400
4000
4000000
z
5
500
5000
5000000
q
n=3
z n=3
q
n=4
z n=4
q
n=5
z n=5
q
n=6
z n=6
q
n=7
z n=7
0.497941445275
4.497941445275
49.7941445275
449.7941445275
497.941445275
4497.941445275
497941.445275
4497941.445275
0.284572294954
4.284572294954
28.4572294954
428.4572294954
284.572294954
4284.572294954
284572.294954
4284572.294954
0.174027662898
4.174027662898
17.4027662898
417.4027662898
174.027662898
4174.027662898
174027.662898
4174027.662898
0.110704132576
4.110704132576
11.0704132576
411.0704132576
110.704132576
4110.704132576
110704.132576
4110704.132576
0.072242319397
4.072242319397
7.2242319397
407.2242319397
72.242319397
4072.242319397
72242.319397
4072242.319397
Tabla No. 8 Cálculo de q, z para diferentes valores de n y m siendo x par
m=100
m=1000
m=1.000.000
x
8
300
3000
3000000
y
15
400
4000
4000000
z
17
500
5000
5000000
q
n=3
z n=3
q
n=4
z n=4
q
n=5
z n=5
q
n=6
z n=6
q
n=7
z n=7
0.723100131656
72.3100131656
723.100131656
723100.131656
15.723100131656 472.3100131656 4723.100131656 4723100.131656
0.294613487125
29.4613487125
294.613487125
294613.487125
15.294613487125 429.4613487125 4294.613487125 4294613.487125
0.127275547330
12.7275547330
127.275547330
127275.547330
15.127275547330 412.7275547330 4127.275547330 4127275.547330
0.056990955996
5.6990955996
56.990955996
56990.955996
15.056990955996 405.6990955996 4056.990955996 4056990.955996
0.026164415901
2.6164415901
26.164415901
26164.415901
15.026164415901 402.6164415901 4026.164415901 4026164.415901
5. Para el resto de los casos especiales de ternas pitagóricas de bases
menores con m>2 (ecuación 3 y ecuación 9), que se encuentren dentro
de la sucesión de los números primos (x=a,y=b,z=c para n=2) tenemos
como x<y puedo hacer que:
a+d=b siendo d>0 y número natural
(a+d)ⁿ=bⁿ
aⁿ+(a+d)ⁿ=cⁿ
(a+d)ⁿ=aⁿ+p+dⁿ
aⁿ+aⁿ+p+dⁿ=cⁿ
(24)
2aⁿ+p+dⁿ=cⁿ
(25)
El coeficiente de aⁿ (2) para n>2 no permite que la ecuación 25 tenga
solución de c (z) entre los números naturales para n>2, porque se rompió
la simetría del binomio de Newton (la raíz n de (2aⁿ+p+dⁿ) no puede dar
un número natural), como si la tiene la ecuación 24 (el coeficiente de aⁿ
es 1 y la simetría del binomio de Newton es exacta).
La siguiente tabla muestra varios ejemplos de ternas pitagóricas de base
menor que se hallaron con el método de la sucesión de números primos,
haciendo los cálculos con n>2 hasta obtener q<1. En todos los casos los
valores de q,z para n>2 dan fraccionarios. La matiza de q,z para n>2 la
hemos limitado a dos decimales por razones de espacio, pero realmente
son infinitas y por lo tanto las bases mayores de ternas obtenidas con
z=bk+qk, x=ak y y=bk, también tendrá a z como número fraccionario
para n>2. En este caso m=8k para k>0 y número natural. Igualmente a
partir de la terna pitagórica a=92, b=525 y c=533 todos los valores de q
son menores de 1 para n>2 y z es fraccionario.
Tabla No. 9 Cálculo de q,z para n>2 con terna pitagórica de base menor con sucesión números primos para n=2
m=8 n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
n=9
n=10
n=11
q=3.40
q=2.58
q=2.04
q=1.67
q=1.40 q=1.19 q=1.03 q=0.90
x
a=20 q=4.84
y
b=21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
25.84
24.40
23.58
23.04
22.67
22.40
22.19
22.03
21.90
z
c=29
m=8
x
y
z
n=2
n=3
a=28 q=3.36
b=45
45
48.36
c=53
n=4
q=1.60
45
46.60
m=8
x
y
z
n=2
n=3
a=52 q=1.70
b=165
165
c=173 166.70
m=8
x
y
z
n=2
n=3
a=76 q=1.14
b=357
357
c=365 358.14
n=5
q=0.85
45
45.81
m=8
x
y
z
n=2
n=3
n=4
q=2.04 q=0.58
a=44
b=117
117
117
117.58
c=225 119.04
n=4
q=0.41
165
165.41
m=8
x
y
z
n=2
n=3
n=4
q=1.28
q=0.23
a=68
b=285
285
285
285.23
c=293 286.28
n=4
q=0.18
357
357.18
m=8
x
y
z
n=2
n=3
n=4
q=0.94 q=0.12
a=92
b=525
525
525
525.12
c=533 525.94
6. Para el resto de casos de los triángulos rectángulos donde z para n=2, no
es un número natural, sino fraccionario con una mantisa infinita (el
cálculo de z proviene de z= ² x² + y²). Al ser siempre q<m tenemos que q
tambien es fraccionario con una mantisa infinita por lo siguiente:
En la figura No. 7 tenemos 3 triángulos cuyos lados son paralelos:
El triángulo rectángulo x,y,z (donde z es fraccionario con mantisa infinita),
el triángulo rectángulo m,r,s (donde m es fraccionario con una mantisa
infinita) y el triángulo q,p,t. Considerando el primer y tercer triángulo al
tener los lados paralelos, sus lados son proporcionales:
q/z=p/x (z para n=2)
q=(p/x)z
Donde p/x es fraccionario (p<x) y z es fraccionario con mantisa infinita,
luego q es fraccionario con mantisa infinita y por lo tanto:
z= y + q (z para n>2), z es fraccionario con mantisa infinita, quedando
probado para todos los casos que en zⁿ=xⁿ+yⁿ para n>2, z es fraccionario
y no pertene a los números naturales.
Figura No. 7. Gráfico de las ecuaciones z=y+m para n=2 y z=y+q para n>2, donde el
triángulo rectangulo x,y,z no tiene soluciones de ternas pitagóricas.
La tabla No. 10 muestra cálculos efectuados con ternas no pitagóricas
que muestran que m, z para n=2, q y z para n>2 son fraccionarios (por
razones de espacio la mantisa la hemos limitado a tres números):
x
8
13
17
40
56
71
TABLA No. 10 CÁLCULO DE m Y z PARA n=2, q Y z PARA n>2, CON VALORES x,y
DIFERENTES A LAS TERNAS PITAGÓRICAS
y
m
z n=2
q n=3
z n=3
q n=4
z n=4
q n=5
z n=5
16
1.889
17.889
0.641
16.641 0.244
16.244 0.099 16.099
22
3.554
25.554
1.420
23.420 0.642
22.642 0.308 22.308
30
4.482
34.482
1.719
31.719 0.745
30.745 0.343 30.343
60
12.111
72.111
5.421
65.421 2.766
62.766 1.503 61.503
87
16.465
103.465
7.133
94.133 3.515
90.515 1.843 88.843
112 20.608
132.608
8.801
120.801 4.271
116.271 2.205 114.205
7. Formación del último triángulo de Fermat:
Gráficamente lo mostramos en la figura No. 8, donde es claro que se
forma un triángulo de lados x,y y y+q, cuando unimos las rectas x, y y
z=y+q y donde 60⁰<Ω<90⁰ (Ω es el ángulo opuesto al lado z=y+q). Este
triángulo, que lo he denominado el último triángulo de Fermat en su
honor, el lado z=y+q es un número fraccionario, siendo x,y>0 números
naturales, solamente z podría ser número natural cuando Ω=90⁰, Ω=60⁰,
o cosΩ diferente a:
Condición que nunca se cumple en zⁿ=xⁿ + yⁿ
Figura No. 8. Formación del último triángulo de Fermat
8. El comportamiento del último triángulo de Fermat sería entre un triángulo
equilatero y un triángulo rectángulo, tal como se muestra la figura No. 9:
Figura No. 9. Comportamiento del último triángulo de Fermat
Esto da origen a un nuevo concepto de la geometría que conocemos hoy en día como
se muestra en la siguiente figura, donde se pueden clasificar cinco tipos de triángulos
claramente definidos por unas características comunes para cada uno de ellos:
Triángulo Equilátero (x=y=z, Ω=60⁰), ya conocido.
Triángulo Rectángulo (z²=x²+y², Ω=90⁰), ya conocido
Triángulo Isosceles (y=z, Ω>60⁰), ya conocido
Triángulo Obtusángulo (x<y<z, Ω>90⁰), ya conocido y forma parte de los
triángulos escalenos.
5. Último Triángulo de Fermat (x<y<z, 60⁰<Ω<90⁰), nuevo concepto:
1.
2.
3.
4.
Forma parte de los triángulos escalenos
La figura No.10 muestra lo anterior:
Figura No. 10. Nuevo concepto geométrico
Las siguientes dos tablas (tabla No. 11 y tabla No.12) muestran diferentes cálculos de
Ω para ternas pitagóricas con x impar y x par respectivamente (en todos los casos
60⁰<Ω<90⁰). La figura 11 muestra geométricamente porque no cambia Ω con k>1.
Tabla No. 11. Cálculo de Ω para ternas pitagóricas con x impar y k=1,2
Tabla No. 12. Cálculo de Ω para ternas pitagóricas con x par y k=1,2
Figura No. 11 Geométricamente no cambia Ω con k>1
La tabla No. 13 muestra diferentes cálculos de Ω con ternas no pitagóricas y siempre
60⁰<Ω<90⁰.
x
y
z
TABLA No. 13 TERNAS NO PITAGÓRICAS
9
8
7
6
5
4
3
2
10
22
31
42
56
61
69
73
13.454 23.4094 31.7805 42.4264 56.2228 61.131 69.06519 73.0273921
z
para
n=3 12.002 22.347 31.119 42.041 56.013 61.006 69.002
Ω
78.16 82.06
84.49
86.29
87.59
88.20
88.79
z
para
n=4 11.344 22.0955 31.0201 42.0044 56.0009 61.0003 69.0001
Ω
73.11 80.22
83.68
85.95
87.45
88.13
88.76
z
para
n=5 10.973 22.0279 31.0036 42.0005 56.0001 61.0000 69.0000
Ω
70.32 79.73
83.55
85.91
87.44
88.12
88.75
x
y
z
1
81
81.0061726
73.0005004
89.2294572
81.0000508
89.6492497
73.0000103
89.2154149
81.0000005
89.6463657
73.0000002
89.2151268
81.0000000
89.6463390
TABLA No. 13 TERNAS NO PITAGÓRICAS
19
25
28
33
37
41
47
51
59
20
30
32
36
40
44
59
59
60
27.586 39.0512 42.52058 48.8365 54.4885 60.1415 75.43209 77.9871784 84.1486779
z
para
n=6 21.924 31.4796 34.0396
Ω
68.35 69.14
68.76
z
para
n=7 21.572 31.0737 33.55065
Ω
67.11 68.10
67.62
z
para
n=8 21.314 30.7945 33.20352
Ω
66.20 67.39
66.81
38.9062 43.3775 47.8522 61.28078 62.5300539 66.7982781
68.49
68.45
68.42
69.58
68.84
68.29
38.3042 42.6989 47.0976 60.58263 61.6533129
67.28
67.23
67.19
68.64
67.73
37.867
66.40
65.707236
67.02
42.2044 46.5462 60.11885 61.0353697 64.9012359
66.34
66.30
68.02
66.95
66.10
9. La representación gráfica de la ecuación de Fermat: zⁿ=xⁿ+yⁿ, realmente
no sería una función contínua, sino discontínua al contener z únicamente
a los números fraccionarios y no contener a los numeros naturales dentro
de ella, tal como se muestra en la figura No. 12:
Figura No. 11 Representación gráfica de las ecuación xⁿ+yⁿ=zⁿ
10.La clave ha sido haber demostrado con la ecuación 19 que: (z para
n=2)>(z para n=3)>(z para n=4>….) y haber demostrado que q<m sin
que q pueda tener valores entre los números naturales y por lo tanto z
tampoco cuando n>2, haciendo imposible descomponer un cubo en dos
cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados y en general, una potencia
cualquiera aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente,
siendo z un número natural, y que Fermat visualizó este importante
hecho, cuando escribio al margen de un ejemplar de la Arithmetica de
Diofanto:
“Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos
bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos
potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente
admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla”.
Por mi parte creo que se ha hecho un análisis completo de todas las posibilidades y
condiciones para z de la ecuación 15 y todas ellas muestran que el enunciado del
último teorema de Fermat es correcto, demostrándolo en forma sencilla.
VICEALMIRANTE ® JOSÉ WILLIAM PORRAS FERREIRA
Cartagena (B) Colombia 3 de marzo de 2011
Email: [email protected]
Celular No. 315-7437915
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