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Revolviendo cartas suficientes veces

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Revolviendo cartas suficientes veces
Miscelánea Matemática 52 (2011) 53–61
SMM
Revolviendo cartas
suficientes veces
Leonardo Martı́nez
Lic. en Matemáticas, FC-UNAM
[email protected]
¿Cuántas veces hay que barajar un mazo de cartas para que quede bien
revuelto? 1 La probabilidad se ha usado desde sus inicios para modelar
juegos de azar y encontrar estrategias que maximicen ganancias, por
ejemplo, para predecir que al tirar dos dados justos el número que tiene mayor probabilidad de obtenerse es el 7. En 1986, Persi Diaconis y
David Aldous, matemáticos estadounidenses, le dieron un nuevo enfoque al uso de la probabilidad en juegos de azar. Al estudiar los paseos
aleatorios que se dan en distintos grupos, pasaron por el grupo de permutaciones y su relación con barajar las cartas. Su trabajo con respecto
a este tema se centra en estudiar la pregunta que mencionamos al inicio
del artı́culo.
Si tuvieramos una máquina que revolviera las cartas perfectamente,
no habrı́a necesidad de hacernos tal pregunta. Si pudieramos obtener
cualquiera de los posibles acomodos de un mazo de cartas con la misma
probabilidad, entonces bastarı́a aplicar sólo una vez este proceso para
tener cartas revueltas justamente. Sin embargo, al barajar las cartas en
la vida real seguimos ciertas costumbres, por ejemplo, la de partir el
mazo cerca de la mitad y luego dejar caer las cartas de ambas mitades
haciendo lo posible por alternarlas. Al hacer esto solamente una vez,
aún quedan cartas de la ronda anterior juntas y en este sentido podemos decir que las cartas aún no están bien revueltas. Por otro lado, no
podemos realizar demasiadas veces este proceso pues tomarı́a mucho
tiempo, y también queremos agilizar el juego. Formalizando matemáticamente estos conceptos, veremos cómo se puede resolver el problema
de revolver cartas con herramientas de probabilidad.
1
Este es un trabajo de divulgación basado en el capı́tulo 24 “Shuffling Cards”
de [4]. El lector interesado puede encontrar una exposición más larga de este tema
en dicha referencia o en otras fuentes que se enlistan en la bibliografı́a.
54
Leonardo Martı́nez
1.
Modelos para barajar
Vamos a trabajar con mazos de cartas de tamaño arbitrario, y luego
haremos el caso particular para las 52 cartas de la baraja inglesa. Tomemos un mazo de n cartas, y numerémoslas de 1 a n para pensarlas
como números enteros. Una permutación del conjunto {1, 2, . . . , n} es
una función biyectiva del conjunto en sı́ mismo, es decir, podemos pensar en una permutación como en acomodar a los números de 1 a n en
lı́nea recta en algún orden. Las permutaciones de {1, 2, . . . , n} bajo la
composición forman un grupo de n! elementos, al cual denotaremos por
Sn . Ası́, aplicar una permutación en Sn a nuestro mazo hace que éste
cambie de orden, de modo que podemos pensar en barajar las cartas
como la aplicación de una de estas permutaciones π, que lleva la carta
en la posición i a la posición π(i).
Sin embargo, al revolver las cartas de un mazo no estamos seleccionando cualquiera de estas permutaciones con la misma probabilidad.
Por ejemplo, una forma de barajar el mazo es tomar la carta superior
del mazo e insertarla en un lugar aleatorio. Al aplicar una vez esta
forma de revolver las cartas, no estamos obteniendo cualquier permutación con la misma probabilidad. Es más, hay algunas permutaciones,
como la que invierte el orden de todo el mazo, que no se pueden obtener barajando reiteradamente de este modo. Pero ésta es únicamente
una de las formas de barajar, podemos pensar en algunas otras como
tomar dos cartas aleatoriamente e intercambiarlas de lugar o “partir el
mazo2 ”.
En cada una de estas formas de barajar las cartas estamos asignándole una probabilidad P (π) a cada una de las permutaciones π de Sn .
La forma de barajar que elijamos le dará cierta preferencia a unas
permutaciones sobre otras, es decir, les dará mayor probabilidad de ser
elegidas. Ası́, definimos un modelo para barajar como una función de
distribución con dominio Sn .
El modelo de la máquina perfecta que selecciona con la misma probabilidad cualquier permutación, es decir, que desde la primera vez que
revolvemos el mazo de cartas obtenemos un orden totalmente aleatorio
se llama modelo uniforme. A este modelo lo denotaremos por U . Como
tenemos n! permutaciones y es equiprobable elegir cualquiera de ellas,
tenemos que U : Sn → [0, 1] está dada por:
U (π) =
2
1
n!
para toda π ∈ Sn
Hacer un corte en un punto aleatorio e intercambiar de lugar las mitades del
mazo que se forman.
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El segundo modelo para barajar que nos interesa es el modelo tradicional, el cual estamos acostumbrados a ver en los juegos de cartas.
Consiste en dividir el mazo aproximadamente a la mitad, tomar cada
mitad con una mano y dejar caer las cartas intentando que se alternen
las de una mitad y otra. En 1955, Gilbert y Shannon propusieron un
modelo sencillo y que se apega a esta forma de barajar las cartas. Su
función de distribución es la siguiente:
T rad : Sn → [0, 1]
dada por:

n+1



 2n
1
T rad(π) :=


2n

0
si π es la identidad,
si π consiste de dos sucesiones crecientes,
en otro caso.
Lo que considera este modelo
es que la probabilidad de que la mano
derecha tome k cartas es nk , con lo cual se asigna una pequeña probabilidad a que la mano derecha tome muy pocas o muchas cartas.
Además, considera que la probabilidad de que caiga una carta de cierta
mano es proporcional a la cantidad de cartas que tiene.
Esta forma de revolver las cartas es invertible. Para regresar el procedimiento que hicimos, lo que hay que hacer es tomar un subconjunto
de cartas, sacarlo sin alterar su orden relativo y colocarlo encima del
resto de las cartas. Al realizar este proceso seleccionando un conjunto
de cartas aleatoriamente, cada uno con la misma probabilidad, obtenemos un modelo para barajar. A este modelo correspondiente a barajar
al revés lo llamamos el modelo tradicional inverso y lo denotaremos por
T rad−1 .
Ası́, los modelos para barajar que nos interesan son el uniforme
(U ), el tradicional (T rad) y su inverso (T rad−1 ). En la siguiente figura
tenemos un ejemplo de lo que le hacen cada uno de estos modelos para
barajar a un mazo con 10 cartas.
Veremos qué quiere decir que algo esté bien revuelto.
2.
Mazos bien revueltos
Para poder comparar las distribuciones entre sı́, definimos una métrica
en el espacio de distribuciones. Dados dos modelos para barajar P y Q
definimos la distancia variacional entre ellos como:
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Figura 1: Ejemplo de posibles barajeos con U (izquierda), T rad y
T rad−1 (derecha).
||P − Q|| :=
1 X
|P (π) − Q(π)|
2 π∈S
n
Éste es el punto clave para entender a qué nos referimos con bien
revuelto. La distancia variacional nos dice qué tan cerca3 están dos modelos para barajar con respecto a las probabilidades que le asignan a las
permutaciones de Sn . Si dos modelos para barajar se parecen mucho en
las permutaciones a las cuales les dan preferencia, entonces los términos
|P (π) − Q(π)| de la suma serán pequeños y por tanto su suma también lo será. Si un modelo para barajar tiene una distancia pequeña a
la distribución uniforme, entonces aproximadamente será equiprobable
elegir cualquier permutación. Es con respecto a esto que diremos que
un modelo para barajar revuelve bien las cartas.
Hasta el momento sólo hemos hablado de barajar una vez con nuestros modelos. Sin embargo, dado un modelo para barajar P , podemos
considerar el modelo obtenido tras aplicar k veces P , al cual denotaremos por P k . Notemos que esto nos representa cómo se comporta la
permutación tras repetir k veces la mezcla de cartas correspondiente a
P.
Con el desarrollo de estas ideas podemos hacernos finalmente una
pregunta más significativa: dado un modelo para barajar P , ¿cómo se
comporta d(k) := ||P k − U || conforme k crece? Notemos que esto ya
se acerca a saber cuántas veces debemos barajar un mazo para convencernos de que está bien revuelto, pues entender el comportamiento de
esta función es entender cómo se acerca P k al modelo uniforme. En [1]
3
Recordemos que P (π) y Q(π) son números entre 0 y 1 pues P y Q son distribuciones. Usando la desigualdad del triángulo podemos ver que ||P − Q|| ≤ 2, de
modo que el factor 12 hace que la distancia variacional sea un número entre 0 y 1.
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podemos encontrar una definición de “suficientemente aleatorio4 ” con
la cual d se acerca a cero exponencialmente conforme k crece.
Más aún, en ciertas formas de barajar las cartas resulta que a partir de cierta k 0 la distancia decrece repentinamente, (aproximadamente
como se muestra cerca de 15 en la figura 1). Esta k 0 es de gran importancia, pues es un punto en el cual barajar hasta ahı́ nos ayuda a
reduicir considerablemente la distancia entre las distribuciones P k y U
en pocas repeticiones. Por supuesto, tomar valores más grandes que
k 0 hará que esta distancia se acorte más, pero la mejora requerirá un
mayor esfuerzo5 . De esta forma, la meta para responder la pregunta
original es encontrar dicha k 0 para el modelo T rad.
Figura 2: d(k) decrece exponencialmente conforme k crece.
3.
Reglas de alto y resultados
Ahora pasamos a una idea espectacular desarrollada por David Aldous
y Persi Diaconis [2]: las reglas de alto fuertes uniformes. Decimos que
modelo para barajar tiene una regla de alto fuerte uniforme si existe un
criterio que nos diga cuándo dejar de barajar para que la distribución
que quede en ese momento sea exactamente la distribución uniforme.
4
Dentro de nuestras distribuciones aleatorias también están incluidas algunas
formas de barajar deterministas. Por ejemplo, si le asignamos probabilidad 1 a la
permutación que invierte el orden del mazo, entonces sabemos exactamente cómo
quedará el mazo tras revolver las cartas. Evitando este tipo de situaciones es mediante lo cual obtenemos modelos para barajar “suficientemente aleatorios”.
5
Formalmente esta k 0 es un número crı́tico para el cual d(k 0 + o(k 0 )) ≈ 1 pero
0
d(k − o(k 0 )) ≈ 0. Esta condición es la que causa el fenómeno de corte.
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Un ejemplo es el siguiente. Supongamos que para barajar tomamos
la carta superior del mazo y la colocamos en una posición aleatoria,
haciendo este proceso repetidas veces. Observemos la carta inferior del
mazo. Cuando lleguen dos cartas debajo de ella, estarán ordenadas en
cualquier orden con la misma probabilidad. Cuando llegue la tercera,
ahora las 6 permutaciones de estas cartas serán equiprobables. Siguiendo este argumento, cuando la carta que estaba hasta abajo llegue arriba
del mazo, las otras n − 1 cartas tendrán cualquier orden con la misma
probabilidad, de modo que en el momento en que coloquemos la carta
inferior (ahora hasta arriba) en medio del mazo, todas las cartas estarán revueltas uniformemente. Ası́, la regla “deja de revolver cuando
la última carta pase a ser la primera y la coloques en el mazo” es una
regla de alto fuerte uniforme para el modelo.
Lo sorprendente es que existe una relación entre el tiempo que se
tarda un modelo para barajar en alcanzar su regla de alto fuerte uniforme y la distancia ||Qk − U || entre barajar varias veces y el modelo
uniforme. Más concretamente, se tiene que si Q es un modelo para barajar y T la variable aleatoria que cuenta la cantidad de pasos necesarios
para que Q alcance su regla de alto uniforme entonces para toda k ≥ 0
se tiene que:
||Qk − U || ≤ P r(T > k)
(1)
La demostración de este resultado se puede encontrar en [4]. Ahora
sı́, ¿cuántas veces debemos barajar tradicionalmente un mazo de cartas
para que quede bien revuelto?
Teorema. Tras haber barajado k veces tradicionalmente en un mazo
de n cartas, la distancia variacional a la distribución uniforme satisface:
n−1
Y
i
k
||T rad − U || ≤ 1 −
(1 − k ).
2
i=1
Demostración. Para demostrar este resultado podemos analizar a
T rad−1 en vez de T rad pues como la forma de barajar de T rad−1 es
la inversa de T rad, podemos concluir que T rad−1 (π) = T rad(π −1 ). La
ventaja de trabajar con T rad−1 es que tiene una regla de alto fuerte
uniforme muy clara, como veremos a continuación.
Recordemos que cada vez que barajamos con T rad−1 una carta puede ser elegida o no. Ası́, a cada carta le podemos asignar una cadena de
dı́gitos ak ak−1 . . . a1 , donde ai toma el valor 1 si la carta fue movida al
barajar la i-ésima vez y 0 en caso contrario. Afirmamos que una regla
de alto fuerte uniforme es detenerse en cuanto todas las cartas tengan
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una cadena distinta de dı́gitos. Esto se debe a que justo cuando esto suceda, las cartas van a estar ordenadas de acuerdo al orden lexicográfico
que llevan sus cadenas de dı́gitos. Como estas cadenas fueron elegidas aleatoriamente, entonces el orden de las cartas será uniformemente
aleatorio.
Cuando barajamos la k-ésima vez quisieramos que n cartas tengan
todas cadenas binarias distintas. En total hay 2k cadenas binarias que
podemos hacer con k dı́gitos. Ası́, la probabilidad de que tengamos que
hacer T > k pasos es el complemento de este evento, a saber, que haya
al menos dos cartas que tengan la misma cadena de dı́gitos.
Este es un problema conocido de probabilidad 6 , de donde sabemos
que:
n−1
Y
i
P (T > k) = 1 −
(1 − k )
2
i=1
Pero de acuerdo a (1) sabemos que este número acota a ||(T rad−1 )k −
U ||. Como cada permutación tiene un único inverso, tenemos entonces
que ||(T rad−1 )k − U || = ||T radk − U ||, de donde se sigue el resultado
deseado.
Ya con este resultado a la mano podemos tomar n = 52 cartas y observar cómo se comporta d(k) conforme varı́a k en la siguiente tabla: Ası́,
k d(k)
7 1,00
8 1,00
9 0,94
10 0,75
11 0,49
12 0,29
13 0,16
14 0,08
por medio de este análisis podemos ver que aproximadamente necesitamos barajar 12 o 13 veces con el modelo tradicional para revolver bien
6
El problema general es: si se colocan a objetos en b cajas, con 0 ≤ a ≤ b ¿cuál
es la probabilidad de que alguna caja tenga dos o más? Se responde calculando la
probabilidad del complemento: que los objetos queden en cajas distintas. Colocando
los objetos en orden, tras colocar i objetos en cajas distintas, la probabilidad
Qa−1 de que
el siguiente no quede en una caja ya ocupada es 1 − bi . Ası́, obtenemos i=1 (1 − bi ).
Qa−1
De forma que la respuesta al problema original es 1 − i=1 (1 − bi ).
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un mazo de 52 cartas, ya que este es el punto en el cual la distancia a
la distribución uniforme comienza a hacerse pequeña.
Al ser un poco más flexibles con la distancia al modelo uniforme,
la demostración del teorema principal puede darnos una cota más pequeña. En [5] se puede consultar un análisis en el cual se muestra que
barajar 7 veces son suficientes para el modelo tradicional.
Este método de usar reglas de alto fuertes uniformes y la distancia
variacional admite aplicaciones más generales. La más directa es usarlo
para otros modelos para barajar. En [3] se puede encontrar el estudio
del modelo en el cual colocamos la primer carta del mazo en un lugar aleatorio. Para este modelo, se necesitan barajar aproximadamente
n log(n) veces para asegurar aleatoriedad. Para n = 52 esto nos da
cerca de 205 veces.
En general, podemos utilizar el método para explorar caminatas
aleatorias en un grupo. Persi Diaconis y Davis Aldous muestran en [2]
ejemplos de esto, encontrando reglas de alto fuertes uniformes para la
caminata en Zn y en ciertas clases de grupos.
La distancia variacional es tan sólo una de las muchas distancias
que se pueden dar entre dos formas de barajar. También en [2] podemos encontrar definiciones equivalentes de dicha distancia y una pequeña discusión que justifica por qué es un criterio adecuado para bien
revuelto.
La pregunta de obtener un mazo de cartas bien revuelto barajándolo
pocas veces podrı́a parecer inocente, pero implica problemas de optimalidad con importantes complicaciones. El planteamiento mismo del
problema nos lleva a reflexionar en los métodos que usamos para obtener objetos aleatorios. Es llevar el juego al terreno exacto de las matemáticas para encontrar estrategias, proponer juegos justos y descubrir
realmente que tanto azar está involucrado. Persi Diaconis, antes mago
y ahora matemático, menciona:
“Si dices que eres un profesor en Stanford, la gente te respeta. Si
dices que inventas trucos de magia... evitan presentarte a su hija”.
Agradecimientos
Agradezco los valiosos comentarios recibidos por los árbitros anónimos,
pues ayudaron a mejorar la presentación y el contenido de este trabajo.
También agradezco a la Dra. Ana Meda Guardiola quien fue la que me
animó a iniciar este artı́culo, me ayudó en el proceso y me apoyó en
concluirlo.
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Referencias
[1] E. Behrends. Introduction to Markov Chains. Vieweg, 2000.
[2] Persi Diaconis. Shuffling cards and stopping times. American Mathematical Monthly, 333–348, 1986.
[3] Persi Diaconis. Group Representations in Probability and Statistics.
Institute of Mathematical Statistics, California, 1988.
[4] Martin Aigner y Günter M. Ziegler. Proofs from the Book. Springer,
3a ed. 1998.
[5] Dave Bayer y Persi Diaconis. Trailing the dovetail shuffle to its lair.
Annals Applied Probability, 294–313, 1992.
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