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Respuesta Frecuencial
1 Respuesta Frecuencial
La respuesta en frecuencia se define como la respuesta de un sistema, en estado estacionario, ante
una entrada sinusoidal. Tal como en capítulos anteriores, los procesos estudiados en este capítulo son
lineales, por lo que al ser sometidos a este tipo de entrada presentan tambien una salida sinusoidal
pero con diferente amplitud y ángulo de fase, tal como se observa en la Fig. 1.1. Entre las ventajas
que proporciona el análisis de un sistema a través de su respuesta en frecuencia se encuentran la
facilidad de reproducir señales de prueba que permiten una identificación frecuencial, la existencia de
criterios de estabilidad a lazo cerrado, basados en la respuesta frecuencial del sistema a lazo abierto y
finalmente la disposición de técnicas de diseño para el control de sistemas cuando las especificaciones
de la respuesta son de carácter frecuencial. Además, cabe mencionar, que es posible establecer una
relación entre la respuesta frecuencial y la temporal.
3
c(t) = Csen(wt + v)
2
r(t) = Rsen(wt)
Salida
1
0
−1
−2
−3
−10
−8
−6
−4
−2
0
Tiempo
2
4
6
8
10
Figura 1.1: Entrada y salida sinosoidal de un sistema
Una vez alcanzado el estado estacionario se puede obtener, en forma analítica, la respuesta frecuencial
haciendo uso de la función de transferencia del sistema G(s), sustituyendo s = jω en dicha función
de transferencia tal como se muestra a continuación.
G ( jω) = Me jφ
(1.1)
donde M corresponde con la relación de amplitudes de las sinusoidales de salida y entrada, y φ viene
a ser el ángulo de desfasaje. De la misma forma G( jω) viene a ser un vector con módulo y fase, los
cuales pueden expresarse según las Ecs. 1.2 y 1.3, respectivamente.
G ( jω) = |G ( jω)| e jφ
−1
φ = tg
Im (G ( jω))
Re (G ( jω))
(1.2)
(1.3)
1
1 Respuesta Frecuencial
Ahora, partiendo del hecho de que la función de transferencia de un sistema es una relación entre
entrada-salida, se pueden expresar el módulo y el ángulo en función de la entrada R(s) y de la salida
C(s), tal como lo expresan las Ecs. 1.4 y 1.5, respectivamente. De allí que, si se conoce G(s) es
posible obtener, en forma analítica, la respuesta frecuencial del sistema evaluando el módulo y la fase
para valores de frecuencia desde cero hasta infinito.
|C ( jω)|
|R ( jω)|
C ( jω)
∠G ( jω) = ∠
R ( jω)
|G ( jω)| =
(1.4)
(1.5)
1.1. Obtención de la respuesta frecuencial a partir de la
función de transferencia
Una función de transferencia puede ser expresada como una relación de ceros y polos que, en forma
general, puede ser escrita tal y como se muestra en la Ec. 1.6, donde Kcorresponde con la ganancia
del sistema, z con los ceros, p con los polos, m con el número de ceros y n con el número de polos.
A partir de allí, el módulo de la respuesta fracuencial y su fase, para un valor específico de ω, se
calcularan según las Ecs. 1.7 y 1.8, respectivamente.
m
K ∏ ( jω + zi )
i=1
n
G ( jω) =
(1.6)
∏ jω + p j
j=1
m
K ∏ | jω + zi |
|G ( jω)| =
i=1
n (1.7)
∏ jω + p j j=1
m
n
∠G ( jω) = ∑ ∠ ( jω + zi ) − ∑ ∠ jω + p j
i=1
(1.8)
j=1
Considerando una función de transferencia específica como la expresada por la Ec. 1.9, es posible
conocer su respuesta frecuencial tal como se muestra a continuación, donde el módulo y la fase deberán evaluarse para ω desde cero hasta infinito.
G (s) =
2
K (s + z)
s (s + p)2
(1.9)
G ( jω) =
K ( jω + z)
jω ( jω + p)
(1.10)
|G ( jω)| =
K | jω + z|
| jω| | jω + p|
(1.11)
1.2 Diagramas de Bode
∠G ( jω) = ∠ ( jω + z) − (∠ jω + ∠ ( jω + p))
(1.12)
La representación de la respuesta frecuencial puede hacerse de diferentes formas, entre las cuales
se pueden nombrar los Diagramas de Bode y los Diagramas Polares, los cuales serán estudiados a
continuación.
1.2. Diagramas de Bode
Los diagramas de bode se utilizan para representar la respuesta frecuencial de un sistema haciendo
uso de dos gráficos, el primero representa el logaritmo del módulo versus la frecuencia y el segundo
representa el ángulo de fase versus la frecuencia. La magnitud logarítmica de G( jω) se representa
como una amplitud logarítmica y se calcula como el 20log|G( jω)|, siendo la unidad de dicha amplitud los decibeles (dB). La principal ventaja de realizar un diagrama logarítmico es que el carácter
multiplicativo de los módulos en la función de transferencia se convierte en aditivo, lo cual simplifica
la representación en cuestión. Para un sistema cuya función de transferencia sea la expresada por la
Ec. 1.13, se calculará su amplitud logarítmica y su fase tal como lo expresan las Ecs.1.16 y 1.17, en
las que se puede observar el carácter aditivo de ambas.
G(s) =
20log |G( jω)|
K (s + z1 ) (s + z2 )
s (s + p1 ) (s + p2 )
(1.13)
G( jω) =
K ( jω + z1 ) ( jω + z2 )
jω ( jω + p1 ) ( jω + p2 )
(1.14)
|G( jω)| =
K | jω + z1 | | jω + z2 |
| jω| | jω + p1 | | jω + p2 |
(1.15)
= 20logK + 20log | jω + z1 | + 20log | jω + z2 | − · · ·
· · · (20log | jω| + 20log | jω + p1 | + 20log | jω + p2 |)
∠G ( jω) = (∠ ( jω + z1 ) + ∠ ( jω + z2 )) − (∠ jω + ∠ ( jω + p1 ) + ∠ ( jω + p2 ))
(1.16)
(1.17)
Partiendo del hecho de que, tanto la amplitud logarítmica como la fase, pueden ser representadas
como la suma de las contribuciones de cada uno de sus factores, es posible obtener el diagrama de
Bode de un sistema cualquiera si se conocen los diagramas de Bode para los diferentes factores que
la conformen. Es decir, conocidos los diagramas de Bode para los distintos factores que pueden
componer una función de transferencia, será posible obtener el diagrama de Bode de una función
compuesta por dichos factores de una forma muy sencilla. Para ello se desarrollará la representación
de los diagramas de Bode para los diferentes factores que conforman una función de transferencia, los
cuales son los siguientes:
→
Ganancia G( jω) = K
→
Polo y cero en el origen G( jω) = ( jω)±1
→
Factores de primer orden G( jω) = (1 + τ jω)±1
3
1 Respuesta Frecuencial
→
h
i
Factores cuadráticos G( jω) = 1 + 2ζ ( jω/ωn ) + ( jω/ωn )2
A continuación se desarrollarán los diagramas de Bode de cada uno de dichos factores, para lo cual se
partirá de la función de transferencia de cada uno y se seguirá el mismo procedimiento descrito con
anterioridad para obtener la amplitud logarítmica y la fase.
1.2.1.
Ganancia
La obtención del diagrama de Bode para el factor ganancia se realiza sustituyendo s = jω en la función
de transferencia, de forma tal que a partir de allí se pueda obtener la amplitud logarítmica y la fase
para los valores de frecuencia requeridos, tal como se muestra a continuación.
G (s) = K ⇒ G ( jω) = K
(1.18)
|G ( jω)| = K ⇒ 20log |G ( jω)| = 20log (K)
(1.19)
−1
∠G ( jω) = φ = tg
Im
Re
= 00
(1.20)
En la Fig. 1.2 (a) se puede observar el vector que representa G ( jω) en el plano s, en el cual se aprecia
que dicho vector siempre tendrá una fase igual 0o y un módulo igual a K independiente del valor de
la frecuencia. Adicionalmente, en la Fig 1.2 (b) se puede apreciar el diagrama de Bode para los casos
en que sea K > 1 y K < 1, del cual destaca el hecho de que agregar un factor ganancia tendrá como
resultado una subida o bajada del diagrama de amplitud dependiendo del valor de la ganancia, sin que
ello modifique en lo absoluto la fase.
30
Magnitud (dB)
20
10
K = 10
0
−10
−20
K = 0,1
−30
−1
10
0
1
10
10
2
10
1
Fase (deg)
0.5
0
−0.5
−1
−1
10
K = 10
K = 0,1
0
1
10
10
Frecuencia (r/s)
(a)
(b)
Figure 1.2: Diagrama de Bode. Ganancia G(s) = K
4
2
10
1.2 Diagramas de Bode
1.2.2.
Polo y cero en el origen
Al igual que en el caso anterior, la obtención del diagrama de Bode para este tipo de factor se realiza
sustituyendo s = jω en la función de transferencia, de forma tal que se pueda obtener la amplitud
logarítmica y la fase para los valores de frecuencia requeridos, tal como se muestra a continuación.
1
1
1
G (s) =
⇒ G ( jω) =
⇒ G ( jω) =
s
jω
jω
(− jω)
(− jω)
1
=−
j
ω
1
⇒ 20log |G ( jω)| = 20log (1) − 20log (ω) = −20log (ω)
ω
1/ω
−1 Im
−1
∠G ( jω) = φ = tg
⇒ φ = tg
⇒ φ = −900
Re
0
|G ( jω)| =
(1.21)
(1.22)
(1.23)
A partir de allí se puede concluir que el vector que representará la respuesta frecuencial para variaciones de ω de cero a infinito, mostrado en la Fig 1.3, tendrá siempre una fase igual a −900 , en tanto
que su módulo variará desde infinito a cero. En dicha figura es posible observar el siguiente comportamiento para la fase, el cual confirma lo concluido respecto a la misma.
Re = 0
Im → ∞−
φ → −900
ω → ∞ Re = 0
Im = 0−
φ = −900
ω →0
Figure 1.3: Polo en el origen (Plano s)
En cuanto a la amplitud logarítmica, descrita según la Ec. 1.22, se concluye que la representación de la
misma en escala semilogarítmica resulta ser una recta, cuya pendiente puede conocerse evaluando la
función para dos valores de frecuencia, como por ejemplo ω1 y ω2 cuya diferencia es una década. En
la Ec. 1.25 se demuestra que en una década la recta a caído 20 dB por lo que se concluye que la gráfica
de la amplitud logarítmica corresponderá con una recta cuya pendiente sea de −20 dB/dc. En la Fig.
1.4 se puede observar el diagrama de Bode para un polo en el origen, en la cual también se incluye el
diagrama para un cero en el origen el diagrama de amplitud será una recta de pendiente 20 dB/dc y la
fase será de 900 para toda la frecuencia. Ambos diagramas pueden observarse .
ω1 =
ω2
10
(1.24)
5
1 Respuesta Frecuencial
ω1
20log |G ( jω1 )| − 20log |G ( jω2 )| = 20log
ω2
ω1
= 20log
10ω1
= −20log (10) = −20 dB
(1.25)
20
Cero
Magnitud (dB)
Polo
10
0
−10
−20
−1
10
0
1
10
10
100
Fase (deg)
50
Cero
0
Polo
−50
−100
−1
10
0
1
10
10
10
2
Figure 1.4: Diagrama de Bode. Polo y cero en el origen G( jω) = ( jω)±1
Cabe destacar que si se tienen polos múltiples, G(s) = (s)±n , la ganancia logarítmica y la fase quedarán
expresadas según las Ecs. 1.26 y 1.27, respectivamente. De allí que se tendrá una gráfica de ganancia
logarítmica cuya pendiente será ±n(20dB/dcada) y una gráfica de fase cuyo valor será (±n90o ).
1.2.3.
20log ( jω)±n = ±20nlog (ω)
(1.26)
φ = ±n 900
(1.27)
Polo y cero en el eje real
La obtención del diagrama de Bode para un polo en el eje real se realiza en forma semejante a los
anteriores, de forma tal que el módulo y la fase quedarán expresados según las Ecs. 1.31 y 1.32.
G (s) =
G ( jω) =
6
1
τs + 1
1
(−τ jω + 1)
1 − τω j
=
(τ jω + 1) (−τ jω + 1) 1 + (τω)2
(1.28)
(1.29)
1.2 Diagramas de Bode
!
1
!
τω
−
j
1 + (τω)2
1 + (τω)2
v
u
u 1 + (−τω)2
1
|G ( jω)| = u
2 = q
t
1 + (τω)2
1 + (τω)2
G ( jω) =
−1
∠G ( jω) = φ = tg
Im
Re
(1.30)
(1.31)
⇒ φ = tg−1 (−τω)
(1.32)
Para este caso se utilizarán aproximaciones para graficar el diagrama de Bode, tanto para la amplitud
logarítmica como para la fase, las cuales se conocerán en adelante como aproximaciones asintóticas.
Para ello se evaluarán lasEcs. 1.31 y 1.32 en ciertos valores que se muestran a continuación.
ω 1/τ
20log |G ( jω)| = −20log (1) = 0 dB
Re → 1+
Im → 0−
φ → 00
ω = 1/τ
√
20log |G ( jω)| = −20log 2 = −3 dB
Re = + 12
Im = − 21
φ = −450
ω 1/τ
20log |G ( jω)| = −20log (τω)
Re → 0+
Im → 0−
φ → −900
Como se puede observar, la amplitud logarítmica tiende a 0 dB cuando la frecuencia es mucho menor
que 1/τ y cuando la frecuencia es mucho mayor que 1/τ tiende a una recta de pendiente −20 dB/dc,
siendo 1/τ el punto donde se cortan ambas asíntotas conocido como frecuencia de corte o de transición
de ganancias. En cuanto a la fase, tambien se observan unas tendencias en los extremos de frecuencia
en los cuales la misma no presentará cambios. En la Fig. 1.5(a) se muestra tanto el diagrama de Bode
exacto para un polo en el eje real, como su aproximación asintótica y en la Fig. 1.5(b) se muestra el
caso del cero en el eje real.
10
40
Aproximación Asintótica
20 dB/dc
30
Magnitud (dB)
Magnitud (dB)
0
−10
Curva Real
3 dB
−20
−20 dB/dc
Curva Real
20
3 dB
10
−30
Aproximación Asintótica
0
−40
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
−10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
0
80
Fase (deg)
Fase (deg)
−20
−40
−60
60
40
20
−80
−2
10
−1
10
0
10
Frecuencia (r/s)
(a)
1
10
2
10
0
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
Frecuencia (r/s)
(b)
Figure 1.5: Diagrama de Bode. Polo y cero en el eje real G( jω) = (1 + τ jω)±1
7
1 Respuesta Frecuencial
1.2.4.
Polos y ceros conjugados
La obtención del diagrama de Bode para un par de polos conjugados se realiza en forma semejante a
los anteriores, de forma tal que el módulo y la fase quedarán expresados según las Ecs. 1.36 y 1.37,
respectivamente. A partir de allí, la amplitud logarítmica quedará expresada por la Ec. 1.38.
G (s) =
−1
s2 2ζ s
+
+1
ωn2 ωn
(1.33)


2 ω
ω
− 2ζ ωn j 
  1 − ωn

1




G ( jω) =  2 2 

1 − ωωn
+ 2ζ ωωn j
1 − ωωn
− 2ζ ωωn j
(1.34)
2 − 2ζ ωωn j
1 − ωωn
G ( jω) = 2 2 h
i2
1 − ωωn
+ 2ζ ωωn
(1.35)

v
u 2 2 h
i2
u
− 1
"
ω
#2 u 1− ω
2
+
2ζ
2
2
ωn
ωn
u
ω
ω
u

|G ( jω)| = u "
+ 2ζ
# =  1−
ωn
ωn
2 2 h
i2 2
u
t 1− ω
+ 2ζ ω
ωn
(1.36)
ωn

∠G ( jω) = φ = tg−1
Im
Re

⇒ φ = tg−1 −
"
20log |G ( jω)| = −10log  1 −
ω
ωn
2 #2

ω
ωn
2ζ

2 
1 − ωωn

2
ω 
+ 2ζ
ωn
(1.37)
(1.38)
También se utilizarán aproximaciones para graficar el diagrama de Bode, tanto para la amplitud logarítmica como para la fase, para ello se evaluarán lasEcs. 1.38 y 1.37 en ciertos valores que se muestran
a continuación.
ω ωn
20log |G ( jω)| = −20log (1) = 0 dB
Re → 1+
Im → 0−
φ → 00
ω = ωn
20log |G ( jω)| = −20log2ζ
Re = 0+
1
Im = − 2ζ
φ = −900
ω ωn
8
20log |G ( jω)| = −40log
ω
ωn
Re → −
ωn 2
ω
→ 0−
Im → −
ωn 3
ω
→ 0− (más rápido)
φ → −1800
1.2 Diagramas de Bode
Como se puede observar, la amplitud logarítmica tiende a 0 dB cuando la frecuencia es mucho menor
que ωn y cuando la frecuencia es mucho mayor que ωn tiende a una recta de pendiente −40 dB/dc,
siendo ωn el punto donde se cortan ambas asíntotas conocido como frecuencia de corte o de transición
de ganancias. En cuanto a la fase, también se observan tendencias en los extremos de frecuencia en los
cuales la misma no presentará cambios. En la Fig. 1.5(a) se muestra tanto el diagrama de Bode exacto
para un par de polos conjugados, como su aproximación asintótica.
20
Magnitud (dB)
Curvas Reales
0
−20
Aproximación Asintótica
−40
− 40 dB/dc
−60
−1
10
0
1
10
10
2
10
0
Fase (grados)
−45
−90
−135
−180
−1
10
0
1
10
10
2
10
Frecuencia (r/s)
h
i
Figure 1.6: Diagrama de Bode. Polos conjugados G( jω) = 1 + 2ζ ( jω/ωn ) + ( jω/ωn )2
El pico que se observa en el diagrama de Bode anterior se conoce como pico de resonancia (Mr)
y ocurre a una frecuencia conocida como frecuencia de resonancia (ωr), ambos valores pueden ser
calculados utilizando las Ecs. 1.39 y 1.40, respectivamente.
Mr = |G ( jωr )| =
1
p
2ζ 1 − ζ 2
q
ωr = ωn 1 − 2ζ 2
(1.39)
(1.40)
Una vez conocidos los diagramas de Bode para cada uno de los factores, se puede obtener el diagrama
de bode para un sistema conformado por varios factores, para lo cual se debe seguir el procedimiento
que se muestra a continuación.
→
→
→
→
→
Rescribir la función de transferencia como un producto de los factores básicos analizados anteriormente
Identificar las frecuencias de corte de cada uno de los factores
Identificar los factores que tienen influencia a baja frecuencia
Dibujar las aproximaciones asintóticas de la amplitud logarítmica comenzando a baja frecuencia
y añadiendo el efecto de cada factor al ir llegando a su frecuencia de ocurrencia
Corregir las aproximaciones asintóticas
9
1 Respuesta Frecuencial
→
Dibujar las tendencias de la fase, tanto a baja frecuencia como a alta frecuencia. Entre dichos
extremos aproximar la forma de la curva de fase según la ocurrencia de los diferentes factores.
Ejercicio 1.1 Realizar el diagrama de Bode de un sistema cuya función de transferencia es la expresada por la Ec. 1.41.
G (s) =
100 (s + 10)
(s + 1) (s + 100)
(1.41)
Solución
Lo primero que debe hacerse es reordenar la función de transferencia para identificar aisladamente
cada uno de los factores que la conforman, lo cual queda descrito por la Ec. 1.42. a partir de allí
se enumeran los distintos factores, sus características y su frecuencia de ocurrencia. Finalmente, en
la Fig. 1.7 se muestra el diagrama de Bode solicitado, en el cual se muestran las curvas reales y la
aproximación asintótica.
G (s) =
100
(s + 1)
s+10
10 10
s+100
100 100
=
1
10 s + 1
1
(s + 1) 100
s+1
10
(1.42)
Ganancia K = 10
−1
→ Polo en el eje real (s + 1)
⇒ ω1 = 1
1
→ Cero en el eje real 10
s + 1 ⇒ ω2 = 10
−1
1
→ Polo en el eje real 100
s+1
⇒ ω3 = 100
→
30
− 20 dB/dc
Magnitud (dB)
20
10
0
−10
− 20 dB/dc
w1
w2
w3
−20
−30
−40
−1
10
0
0
10
1
2
10
3
10
10
4
10
Comienza en 0
−15
Decreciente
Fase (deg)
Decreciente
−30
−45
−60
Creciente
−75
Termina en −90
−90
−1
10
0
10
1
2
10
10
3
10
Frecuencia (r/s)
Figure 1.7: Diagrama de Bode. G (s) =
10
100(s+10)
(s+1)(s+100)
4
10
1.2 Diagramas de Bode
Ejercicio 1.2 Realizar el diagrama de Bode de un sistema cuya función de transferencia es la expresada por la Ec.1.43.
G (s) =
5000 (s + 10)
s (s + 50) (s + 100)
(1.43)
Solución
Lo primero que debe hacerse es reordenar la función de transferencia para identificar aisladamente
cada uno de los factores que la conforman, lo cual queda descrito por la Ec. 1.44. a partir de allí
se enumeran los distintos factores, sus características y su frecuencia de ocurrencia. Finalmente, en
la Fig. 1.8 se muestra el diagrama de Bode solicitado, en el cual se muestran las curvas reales y la
aproximación asintótica.
10
5000 s+10
=
G (s) = s+50 10s+100 s 50 50 100 100 s
Ganancia K = 10
→ Polo en el origen
→ Cero en el eje real
1
10 s + 1
1
1
50 s + 1
100 s + 1
10
(1.44)
→
→
Polo en el eje real
→
Polo en el eje real
1
⇒ ω1 = 10
10 s + 1
−1
1
⇒ ω2 = 50
50 s + 1
−1
1
⇒ ω3 = 100
100 s + 1
40
− 20 dB/dc
Magnitud (dB)
20
− 20 dB/dc
0
−20
w1
− 40 dB/dc
w2
w3
−40
−60
−80
−1
10
0
10
1
2
10
10
3
10
4
10
−40
−60
Fase disminuye
Fase (deg)
−80
−100
Fase comienza en −90
Fase aumenta
−120
−140
−160
−180
−1
10
Fase termina en −180
0
10
1
2
10
10
3
10
4
10
Frecuencia (r/s)
Figure 1.8: Diagrama de Bode. G (s) =
5000(s+10)
s(s+50)(s+100)
11
1 Respuesta Frecuencial
Ejercicio 1.3 Realizar el diagrama de Bode de un sistema cuya función de transferencia es la expresada por la Ec.1.45.
40 (s + 10)2
G (s) =
s (s + 1) (s + 100)
(1.45)
Solución
Lo primero que debe hacerse es reordenar la función de transferencia para identificar aisladamente
cada uno de los factores que la conforman, lo cual queda descrito por la Ec. 1.46. a partir de allí
se enumeran los distintos factores, sus características y su frecuencia de ocurrencia. Finalmente, en
la Fig. 1.9 se muestra el diagrama de Bode solicitado, en el cual se muestran las curvas reales y la
aproximación asintótica.
2
1
40 10
s+1
40 (s + 10)2
=
G (s) =
1
s (s + 1) (s + 100) s (s + 1) 100
s+1
(1.46)
Ganancia K = 40
→ Polo en el origen
→ Polo en el eje real (s + 1) ⇒ ω1 = 1
2
1
s+1
⇒ ω2 = 10
→ Dos ceros en el eje real 10
−1
1
→ Polo en el eje real 100
s+1
⇒ ω3 = 100
→
80
− 20 dB/dc
Magnitud (dB)
60
40
− 40 dB/dc
20
w1
0
− 20 dB/dc
−20
w2
w3
−40
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
3
10
10
4
10
−40
Fase disminuye
Fase (deg)
−60
−80
Fase comienza en −90
−100
Fase termina en −90
Fase disminuye
Fase aumenta
−120
−140
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frecuencia (r/s)
Figure 1.9: Diagrama de Bode. G (s) =
12
40(s+10)2
s(s+1)(s+100)
4
10
1.3 Identificación de un proceso a partir de su diagrama de Bode
1.3. Identicación de un proceso a partir de su diagrama
de Bode
En capítulos anteriores se estudió la identificación de un proceso a partir de su respuesta temporal,
el cual resultó ser un procedimiento sumamente sencillo que permitía la aproximación de la función
de transferencia a la de un sistema de primer o segundo orden, según fuese el caso. La identificación
que se estudiará en esta sección se fundamenta en el conocimiento de la respuesta frecuencial del
proceso, a partir de la cual será posible identificar de forma más detallada los distintos factores que
conforman una función de transferencia. El procedimiento para realizar una identificación frecuencial
puede resumirse a continuación tal como se muestra.
→
Análisis a baja frecuencia
• Para el caso de la amplitud logarítmica se debe observar si presenta o no pendiente, pues
eso determinará la presencia de polos el origen. Si la curva no tiene pendiente el sistema
será de tipo 0 y la ganancia se calculará a partir del valor del 20log |G( jω)| = 20logK. Si
posee pendiente el tipo del sistema dependerá de la pendiente, es decir, será de tipo I si la
pendiente es de −20dB/dc, tipo II si la pendiente es de −40dB/dc y así sucesivamente. En
este caso, la ganancia debe calcularse leyendo el valor de la magnitud y comparándolo con
el que debería tener si no existiese ganancia, de existir una dieferencia, sería debida a la
ganancia.
• Para el caso de la fase se debe observar a que valor tiende, si tiende a 00 indica que no hay
polos ni ceros en el origen, en tanto si tiende a ±n900 ello indicaría la presencia de n polos
o ceros en el origen.
→
Análisis a alta frecuencia
• Para el caso de la amplitud logarítmica se debe observar el valor de la pendiente que
definirá la diferencia entre los polos y los ceros de la función de transferencia, pues para
m ceros y n polos, dicha pendiente será igual a (n − m) (−20dB/dc).
• Para el caso de la fase se debe observar la tendencia pues ello debe coincidir con el diagrama de amplitud en lo que respecta
a la diferencia entre polos y ceros, es decir, dicho valor
0
será igual a (n − m) −90 .
→
Análisis de los valores intermedios
• Se debe analizar primero la fase para determinar la ocurrencia de polos o ceros, basándose
en el hecho de que los ceros elevan el diagrama y los polos lo bajan.
• En base a lo anterior se deben ubicar las rectas de las aproximaciones asintóticas tal que
coincidan con los razonamientos anteriores.
Ejercicio 1.4 Para un sistema cuya respuesta frecuencial es la que se muestra en la Fig. 1.10, se
solicita que identifique la función de transferencia que lo representa.
13
1 Respuesta Frecuencial
40
Magnitud (dB)
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
−1
10
0
10
1
2
10
10
3
10
4
10
0
Fase (deg)
−30
−60
−90
−120
−150
−180
−1
10
0
10
1
2
10
10
3
10
4
10
Frecuencia (r/s)
Figure 1.10: Diagrama de Bode. Identificación I
Solución
Tal como se mencionó en el procedimiento anterior se realizará el análisis a baja frecuencia, a alta
frecuencia y en los valores intermedios.
→
Análisis a baja frecuencia
• El diagrama de magnitud no presenta pendiente por lo que la función de transferencia será
de tipo 0.
• 20logK = 20 dB ⇒ K = 10
• La fase tiende a 00 , lo cual coincide con lo esperado, es decir, la función de transferencia
será de tipo 0.
→
Análisis a alta frecuencia
• El el diagrama de magnitud la pendiente tiende a −40dB/dc y la fase a −1800 , por lo que
se concluye que m − n = 2, es decir, existirán dos polos más que ceros.
→
Análisis a frecuencias intermedias
• Tanto la magnitud como la fase presentan unas curvas que decrecen monótonamente, por
lo que se concluye que no deben existir ceros sino solamente polos.
Tomando en cuenta lo anterior se puede concluir que la forma de la función de transferencia podría ser
como la que se expresa por la Ec. 1.47, de la cual solo hay que comprobar la frecuencia de ocurrencia
de los polos. Ello es posible dibujando las aproximaciones asintóticas sobre el diagrama de amplitud,
tal como se muestra en la Fig. 1.11, a partir de donde se puede identificar la función de transferencia
tal como lo expresa la Ec. 1.48.
G (s) H (s) =
14
K
(τ1 s + 1) (τ2 s + 1)
(1.47)
1.3 Identificación de un proceso a partir de su diagrama de Bode
10
G (s) H (s) =
(1.48)
1
100 s + 1
1
10 s + 1
40
− 20 dB/dc
20
Magnitud (dB)
0
− 40 dB/dc
−20
−40
w1
w2
−60
−80
−100
−1
10
0
1
10
2
10
3
10
10
4
10
0
Comienza en 0
Fase (deg)
−30
−60
Siempre decreciente
−90
−120
−150
Termina en −180
−180
−1
10
0
1
10
2
10
3
10
10
4
10
Frecuencia (r/s)
Figure 1.11: Diagrama de Bode asintótico. Identificación I
Ejercicio 1.5 Para un sistema cuya respuesta frecuencial es la que se muestra en la Fig. 1.12, se
solicita que identifique la función de transferencia que lo representa.
20
10
Magnitud (dB)
0
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
−1
10
0
1
10
10
2
10
−50
Fase (deg)
−100
−150
−200
−250
−300
−1
10
0
1
10
10
2
10
Frecuencia (r/s)
Figure 1.12: Diagrama de Bode. Identificación II
15
1 Respuesta Frecuencial
Solución
Tal como en el ejemplo anterior se realizará el análisis a baja frecuencia, a alta frecuencia y en los
valores intermedios.
→
Análisis a baja frecuencia
• El diagrama de magnitud presenta una pendiente igual a −20dB/dc por lo que la función de
transferencia será de tipo I.
• Para una ω = 0, 1 la magnitud es de aproximadamente 16 dB, la cual debería ser de 20 dB
si la ganancia fuese unitaria. Ello indica que la ganancia hace que el diagrama baje −4 dB,
por lo que la misma puede calcularse como sigue, 20logK = −4 dB ⇒ K = 0, 63
• La fase tiende a −900 , lo cual coincide con lo esperado, es decir, la función de transferencia
será de tipo I.
→
Análisis a alta frecuencia
• En el diagrama de magnitud la pendiente tiende a −60dB/dc y la fase a −2700 , por lo que
se concluye que m − n = 3, es decir, existirán tres polos más que ceros.
→
Análisis a frecuencias intermedias
• La fase aumenta ligeramente a baja frecuencia y luego decrece todo el tiempo, al igual que
la pendiente que comienza negativa y tiende a cero para luego pasar a ser negativa, lo cual
indica la ocurrencia de un cero a bajas frecuencias. Adicionalmente se observa un pico en
el diagrama de magnitud, lo que implica que existen un par de polos conjugados, los cuales
deben sumarse al polo en el origen y a otro polo adicional para que m − n = 3.
• Los polos congugados presentan un pico cuyo valor se puede leer de la gráfica y calcular
el valor de ζ utilizando la Ec. 1.49.
20logMr = 12 dB ⇒ Mr =
1
p
= 4 ⇒ ζ = 0, 126
2ζ 1 − ζ 2
(1.49)
Tomando en cuenta lo anterior se puede concluir que la forma de la función de transferencia podría ser
como la que se expresa por la Ec. 1.50, de la cual solo hay que comprobar la frecuencia de ocurrencia
de los polos. Ello es posible dibujando las aproximaciones asintóticas sobre el diagrama de amplitud,
tal como se muestra en la Fig. 1.13, a partir de donde se puede identificar la función de transferencia
tal como lo expresa la Ec. 1.51.
G (s) H (s) =
K (τ s + 1)
i
h 1
2ζ
s (τ2 s + 1) ω12 s2 + ω
s
+
1
n
(1.50)
n
h
G (s) H (s) = 1
s 1,8 s + 1
16
0, 63 (s + 1)
i
2∗0,126
1
2
s+1
64 s +
64
(1.51)
1.3 Identificación de un proceso a partir de su diagrama de Bode
20
− 20 dB/dc
10
− 20 dB/dc
Magnitud (dB)
0
20 log Mr = 12 dB
−10
−20
−30
w1
w2
w3
− 60 dB/dc
−40
−50
−60
−70
−80
−1
10
0
−50
2
10
10
Decreciente
Comienza en − 90
−100
Fase (deg)
1
10
Decreciente
Creciente
−150
−200
−250
Termina en −270
−300
−1
10
0
1
10
2
10
10
Frecuencia (r/s)
Figure 1.13: Diagrama de Bode asintótico. Identificación II
Ejercicio 1.6 Para un sistema cuya respuesta frecuencial es la que se muestra en la Fig. 1.14, se
solicita que identifique la función de transferencia que lo representa.
80
Magnitud (dB)
60
40
20
0
−20
−40
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
−40
Fase (deg)
−60
−80
−100
−120
−140
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frecuencia (r/s)
Figure 1.14: Diagrama de Bode. Identificación III
17
1 Respuesta Frecuencial
Solución
Tal como en el ejemplo anterior se realizará el análisis a baja frecuencia, a alta frecuencia y en los
valores intermedios.
→
Análisis a baja frecuencia
• El diagrama de magnitud presenta una pendiente igual a −20dB/dc por lo que la función de
transferencia será de tipo I.
• Para una ω = 0, 01 la magnitud es de aproximadamente 72 dB, la cual debería ser de 40 dB
si la ganancia fuese unitaria. Ello indica que la ganancia hace que el diagrama suba 32 dB,
por lo que la misma puede calcularse como sigue, 20logK ' 32 dB ⇒ K = 39, 8.
• La fase tiende a −900 , lo cual coincide con lo esperado, es decir, la función de transferencia
será de tipo I.
→
Análisis a alta frecuencia
• En el diagrama de magnitud la pendiente tiende a −20dB/dc y la fase a −180, por lo que se
concluye que m − n = 1, es decir, existirá un polo más que ceros.
→
Análisis a frecuencias intermedias
• La pendiente de la magnitud y la fase comienzan disminuyendo, lo que indica la ocurrencia
de un polo. Luego la fase comienza a aumentar sobrepasando los −900 que inicialmente
tenía sin alcanzar los 900 , igualmente la pendiente tiende a decrecer abruptamente, ambos
comportamientos indican la aparición de dos ceros que podrían ser iguales o diferentes dependiendo de las aproximaciones asintóticas que se apeguen más al diagrama. Finalmente,
la pendiente decrece a −20dB/dc y la fase tiende a −900 .
Tomando en cuenta lo anterior se puede concluir que la forma de la función de transferencia podría ser
como la que se expresa por la Ec. 1.52, de la cual solo hay que comprobar la frecuencia de ocurrencia
de los polos. Ello es posible dibujando las aproximaciones asintóticas sobre el diagrama de amplitud,
tal como se muestra en la Fig. 1.15, a partir de donde se puede identificar la función de transferencia
tal como lo expresa la Ec. 1.53.
K (τ2 s + 1)2
G (s) H (s) =
s (τ1 s + 1) (τ3 s + 1)
(1.52)
2
1
s
+
1
10
1
s (s + 1) 100
s+1
(1.53)
G (s) H (s) =
18
39, 8
1.4 Relación entre la curva de amplitud logarítmica y el error
80
− 20 dB/dc
Magnitud (dB)
60
40
− 40 dB/dc
20
w1
0
− 20 dB/dc
−20
w3
w2
−40
−2
−1
10
10
0
10
1
2
10
3
10
10
4
10
−40
Fase disminuye
Fase (deg)
−60
−80
Fase comienza en −90
−100
Fase termina en −90
Fase disminuye
Fase aumenta
−120
−140
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frecuencia (r/s)
Figure 1.15: Diagrama de Bode asintótico. Identificación III
1.4. Relación entre la curva de amplitud logarítmica y el
error
Considerando un sistema de control de retroalimentación simple, es posible utilizar la respuesta frecuencial a lazo abierto para conocer el error a lazo cerrado. Es importante recordar que el error de
un sistema depende del tipo del sistema y de la entrada a la cual se vea sometido, pudiéndose calcular el error en función de los coeficientes de error estático (K p, Kv y Ka), donde los valores de
los mismos son calculados a partir de las Ecs. 1.54, 1.55 y 1.56, respectivamente. A continuación se
mostrará, según el tipo del sistema, como puede ser utilizada la respuesta frecuencial a lazo abierto
para el cálculo del error.
K p = lı́m G(s)
(1.54)
K p = lı́m sG(s)
(1.55)
K p = lı́m s2 G(s)
(1.56)
s→0
s→0
s→0
1.4.1.
Sistemas tipo 0
Para un sistema tipo 0 cuando la frecuencia tiende a cero G( jω) tiende a K p, por lo tanto, a partir de
la gráfica de amplitud logarítmica se puede obtener K p, pues a baja frecuencia la amplitud logarítmica
de 20log |G( jω)| = 20logK p. En la Fig. 1.16 se puede apreciar lo enunciado anteriormente.
19
1 Respuesta Frecuencial
Figure 1.16: Diagrama de amplitud. Cálculo de K p
1.4.2.
Sistemas Tipo I
Para un sistema de tipo I para cuando ω 1 se puede aproximar el módulo del G(s) según se muestra
en la Ec. 1.57, lo cual se representa como una recta de pendiente −20 dB/dc a baja frecuencia. Si
además se evalúa esta aproximación en ω = 1 se tiene que para esa frecuencia la recta tiene una
magnitud igual a 20logKv. Finalmente, si se extiende la recta hasta que corte los 0 dB, se determina
que dicho valor de frecuencia, ω1 , será igual a Kv, tal como lo expresa la Ec.1.58. En la Fig. 1.17, se
puede apreciar lo emncionado anteriormente pero en forma gráfica.
Kv
Kv
Kv
⇒ |G ( jω)| =
⇒ 20log |G ( jω)| = 20log
(1.57)
G ( jω) →
jω
ω
ω
Kv 20log = 0 dB ⇒ Kv = ω1
ω ω=ω1
(1.58)
Figure 1.17: Diagrama de amplitud. Cálculo de Kv
1.4.3.
Sistemas Tipo II
Para un sistema de tipo II para cuando ω 1 se puede aproximar el módulo del G(s) según se
muestra en la Ec. 1.59, lo cual se representa como una recta de pendiente −40 dB/dc a baja frecuencia.
20
1.5 Relación entre el diagrama de amplitud logarítmica y la respuesta transitoria a lazo cerrado
Si además se evalúa esta aproximación en ω = 1 se tiene que para esa frecuencia la recta tiene una
magnitud igual a 20logKa. Finalmente, si se extiende la recta hasta que corte los 0 dB, se determina
que dicho valor de frecuencia, ω1 , será igual a Kv, tal como lo expresa la Ec.1.60. En la Fig. 1.18, se
puede apreciar lo emncionado anteriormente pero en forma gráfica.
Ka
Ka
Ka
|G
|G
(1.59)
⇒
(
jω)|
=
⇒
20log
(
jω)|
=
20log
G ( jω) →
ω2
ω2
( jω)2
Ka √
20log 2 = 0 dB ⇒ ω1 = Ka
ω ω=ω1
(1.60)
Figura 1.18: Diagrama de Amplitud. Cálculo de Ka
1.5. Relación entre el diagrama de amplitud logarítmica
y la respuesta transitoria a lazo cerrado
Para un sistema a lazo cerrado con retroalimentación unitaria se define M(s) como la función de
transferencia a lazo cerrado, en función de la función de transferencia a lazo abierto G(s), tal como lo
expresa la Ec. 1.61. A partir allí se obtiene el diagrama de amplitud a lazo cerrado sustituyendo s = jω
y representado dicha amplitud según la Ec. 1.62. Considerando un sistema particular a lazo cerrado
con ganancia unitaria cuyo diagrama de amplitud se muestra en la Fig. 1.19, se define la frecuencia de
corte ωb como la frecuencia a partir de la magnitud a lazo cerrado está por debajo de los −3 dB, de allí
que el ancho de banda se define como el rango de frecuencias entre 0 ≤ ω ≤ ωb . De igual forma, para
sistemas a lazo cerrado cuya ganancia no sea unitaria, el valor de la frecuencia de corte ωb es aquella
frecuencia en la cual la magnitud está −3 dB por debajo de su valor de frecuencia cero, tal como lo
expresa la Ec. 1.63.
G(s)
C(s)
=
R(s) 1 + G(s)
G( jω) 20log |M( jω)| = 20log 1 + G( jω) M(s) =
|M( jω)| < |M( j0)| − 3 dB,
ω > ωb
(1.61)
(1.62)
(1.63)
21
1 Respuesta Frecuencial
Figura 1.19: Gráfica de la amplitud a lazo cerrado. Ancho de Banda
El ancho de banda viene a ser una característica del sistema íntimamente relacionada con la respuesta
transitoria del sistema, siendo las siguientes las consideraciones que se deben tomar en cuenta al
analizar un sistema a lazo cerrado.
La respuesta del sistema para valores de frecuencia mayores al wb estará atenuada.
→ El ancho de banda se puede definirse como la capacidad que tiene un sistema a lazo cerrado de
reproducir adecuadamente una señal de entrada.
→ Para un ancho de banda es grande corresponde una rapidez de la respuesta alta, o lo que es lo
mismo, el ancho de banda es directamente proporcional a la velocidad de respuesta.
→ El valor del ancho de banda se encuentra limitado pues el ruido ocurre a alta frecuencia y debe
evitarse que el mismo perturbe la salida.
→
Tal como se describió anteriormente, el ancho de banda es una característica del sistema a lazo cerrado,
cuyo valor puede ser identificado a partir del diagrama de amplitud del sistema a lazo cerrado. Así
mismo, se puede utilizar el diagrama de amplitud a lazo abierto para conocer el ancho de banda a lazo
cerrado pues las características del diagrama de amplitud a alta frecuencia son bastantes parecidas
tanto a lazo cerrado como a lazo abierto, tal como se aprecia en la Fig. 1.20.
Figura 1.20: Gráficas de la amplitud a lazo abierto y cerrado. Ancho de Banda
22
1.6 Diagramas Polares
1.6. Diagramas Polares
Los diagramas polares son una representación de la respuesta frecuencial de un sistema, en la cual se
utiliza el plano s para representar punto a punto la variación de G( jω) cuando 0 ≤ ω ≤ ∞, en otras
palabras, es el lugar geométrico de los vectores que representan el módulo y la fase de G( jω) para
esos valores de frecuencia. El procedimiento a seguir para la obtención de un diagrama polar difiere
de lo realizado para los diagramas de Bode, pues los mismos no tienen las mismas características de
aditividad que tienen los diagramas de Bode. Es por ello que para la obtención de un diagrama polar
no se parte del desarrollo previo de los diferentes factores que conforman una función de transferencia, sino que se analiza trabaja caso particular. Cabe destacar que, habiendo estudiado previamente
los diagramas de Bode, esto puede servir de base para el estudio de los diagramas polares que se
desarrollarán a continuación.
Para el caso de una ganancia, se destaca en la Ec. 1.18, que solamente se modifica el módulo de la
respuesta frecuencial por lo que su efecto sobre un diagrama polar es aumentar el módulo proporcionalmente a la ganancia sin afectar la fase. Para el caso de un polo o cero en el origen, en la Fig.
1.21(a) se muestran los diagramas polares correspondientes, los cuales se fundamentan en los razonamientos realizados para la obtención de los diagramas de Bode para estos factores. Así mismo, se
muestra en la Fig. 1.21(b) los diagramas polares para un polo y un cero en el eje real.
(a) polo y cero en el origen (b) Polo y cero en el eje Real
Figure 1.21: Diagramas polares
Ahora, para obtener el diagrama polar de una función de transferencia cualquiera se debe tomar en
cuenta que, debido a que los sistemas bajo estudio siempre tienen más polos que ceros, el módulo de
la respuesta frecuencial siempre tenderá a cero cuando ω tiende a infinito. Es por ello que, para cada
caso particular, se realizará un análisis de la fase para todo el barrido de frecuencia con lo que podrá
aproximarse la forma del diagrama polar. A continuación se mostrarán varios ejemplos de forma tal
que ello permita generalizar una metodología para la obtención de los diagramas polares.
Ejercicio 1.7 Desarrolle el diagrama polar para un sistema cuya función de transferencia se expresa
según la Ec. 1.64.
G (s) =
1
s (τs + 1)
(1.64)
23
1 Respuesta Frecuencial
Solución
Lo primero que se debe hacer es sustituir en la función de transferencia del sistema s = jω, de forma
tal que se tenga la función de la respuesta frecuencial a representar. A partir de allí, se analiza la
contribución de cada uno de los factores tanto a baja como a alta frecuencia, encontrándose para este
caso, que la fase del polo en el origen se mantiene siempre en −900 , en tanto la del polo en el eje real
no afecta la fase a baja frecuencia pero va añadiendo una fase negativa que finalmente tiende a −900 .
En cuanto al módulo, el mismo comienza como infinito a baja frecuencia para luego terminar en cero.
Tomando en cuenta estos razonamientos se obtiene el diagrama polar que se muestra en la Fig. 1.22.
G ( jω) =
ω →0
ω →∞
1
jω (τ jω + 1)
1
jω
1
(τ jω+1)
|G ( jω)| → ∞
φ = −900
|G ( jω)| → 0
φ = −900
|G ( jω)| = 1
φ = 00
|G ( jω)| → 0
φ = −900
(1.65)
Figure 1.22: Diagramas polares
Ejercicio 1.8 Desarrolle el diagrama polar para un sistema cuya función de transferencia se expresa
según la Ec. 1.66, para la cual debe considerar que τ1 > τ2 > τ3 .
G (s) =
K (τ2 s + 1)2
s (τ1 s + 1) (τ3 s + 1)
(1.66)
Solución
Al igual que en el ejemplo anterior se sustituye en la función de transferencia del sistema s = jω, de
forma tal que se tiene la función de la respuesta frecuencial a representar. A partir de allí, se analiza la
24
1.6 Diagramas Polares
contribución de cada uno de los factores tanto a baja como a alta frecuencia, encontrándose para este
caso, que la fase comienza y termina en −900 decreciendo a baja frecuencia por acción del primer polo
para luego aumentar por la aparición de los dos ceros y finalmente regresar a la fase inicial debido a la
apatición del otro polo. En cuanto a la amplitud, la misma comienza en infinito para terminar en cero.
Tomando en cuenta estos razonamientos se obtiene el diagrama polar que se muestra en la Fig. 1.23.
K (τ1 ω j + 1)2
G ( jω) =
ω j (τ2 ω j + 1) (τ3 ω j + 1)
ω →0
ω →∞
(1.67)
K
1
jω
(τ1 ω j + 1)2
(τ2 ω j + 1)−1
(τ3 ω j + 1)−1
|G ( jω)| = K
φ = 00
|G ( jω)| = K
φ = 00
|G ( jω)| → ∞
φ = −900
|G ( jω)| → 0
φ = −900
|G ( jω)| → 1
φ = 00
|G ( jω)| → 0
φ = 1800
|G ( jω)| → 1
φ = 00
|G ( jω)| → 0
φ = −900
|G ( jω)| → 1
φ = 00
|G ( jω)| → 0
φ = −900
Figure 1.23: Diagramas polares
1.6.1.
Formas generales
Los diagramas polares presentan unas formas generales que dependen exclusivamente del tipo del
sistema y de la diferencia entre el número de polos y de ceros de la función de transferencia, pues
ello define la tendencia del diagrama tanto a baja como a alta frecuencia, atl como se muestra a
continaución. A partir de allí se representan las formas generales, que se muestran en la Fig. 1.24, de
forma tal que puedan utilizarse para desarrollar diagramas polarse con mayor facilidad. Como se puede
observar, dichas formas solamente ofrecen las tendencias en los valores extremos de la frecuencia, lo
cual es debido a que lo que sucede en las frecuencias intermedias dependerá de la forma particualr de
cada función de transferencia.
25
1 Respuesta Frecuencial
ω →0
ω →∞
Tipo 0
Tipo I
Tipo II
|G ( jω)| = K
φ = 00
|G ( jω)| = 0 φ = (m − n) −900
|G ( jω)| → ∞
φ = −900
|G ( jω)| → 0 φ = (m − n) −900
|G ( jω)| → ∞
φ = −1800
|G ( jω)| → 0 φ = (m − n) −900
Figure 1.24: Formas generales de lso diagramas polares
Ejercicio 1.9 Desarrolle el diagrama polar para un sistema cuya función de transferencia se expresa
según la Ec. 1.68, para la cual debe considerar que τ1 > τ2 > τ3 > τ4 .
G (s) =
K (τ2 s + 1)2
s2 (τ1 s + 1) (τ3 s + 1) (τ4 s + 1)
(1.68)
Solución
Como se puede observar el sistema es de tipo II, por lo que el diagrama polar comenzará a baja
frecuencia con módulo infinito y φ = −1800, en tanto que
cuando la frecuencia tienda a infinito el
módulo tenderá a cero y φ = (m − n) −900 = 3 −900 = −2700 . En cuanto a lo que sucede en
als frecuencias intermedias se observa que, debido a los valores de las constantes de tiempo, primero
ocurre un polo que llevará a la fase a valores más negativos, luego ocurren dos ceros que harán que la
fase pase a valores mayores a los −1800 , para que luego aparezcan dos polos que finalmente llevarán
a la fase a los −2700 . En la Fig. 1.25 se puede observar el diagrama polar correspondiente.
Figure 1.25: Diagrama polar G (s) =
26
K(τ2 s+1)2
2
s (τ1 s+1)(τ3 s+1)(τ4 s+1)
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