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Tema 6.3: Abiertos simplemente conexos. Consecuencias de la

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Tema 6.3: Abiertos simplemente conexos. Consecuencias de la
Tema 6.3: Abiertos simplemente conexos.
Consecuencias de la fórmula general de Cauchy
y de la forma general del teorema de Cauchy
Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 2008-09
Enrique de Amo, Universidad de Almería
En este tema avanzamos en la clasi…cación de los dominios del plano. Para
ello, introduciremos el concepto de homotopía, que nos ayudará en la identi…cación de los dominios simplemente conexos.
Sépase, es lo anunciado como culminación del curso, que (salvo isomor…smos)
sólo existen dos abiertos simplemente conexos en el plano: el propio C y el disco
unidad D.
Pero, hasta entonces, habrá que contentarse con los resultados parciales de
este tema.
De…nición. Diremos que dos curvas cerradas 0 y 1 (de…nidas en [a; b] y) con
soporte en un abierto son -homótopas si existe una función continua
F : [0; 1] [a; b] ! tal que
F (0; t) =
0 (t) ;
F (1; t) =
1 (t) ;
F (s; a) = F (s; b);
8t 2 [a; b]
8t 2 [a; b]
8s 2 [0; 1] :
(La tercera condición es la que da coherencia al hecho de que ambas curvas
sean cerradas.)
Proposición. Sean dos curvas cerradas 0 y 1 (de…nidas en [a; b] y) con
soporte en el abierto : Supongamos que 0 y 1 sean -homótopas.
Entonces
Ind 0 (z) = Ind 1 (z) ;
8z 2 Cn :
Demostración. Designemos por F la homotopía existente, por hipótesis.
Sea z 2 Cn y sea K := F ([0; 1] [a; b]). Claramente, z no está en el compacto
K. Llamando " := dist(z; K) ; por continuidad uniforme de F , podemos a…rmar
que
9 >0:
js1 s2 j < ; jt1 t2 j <
s1 ; s2 2 [0; 1] ; t1 ; t2 2 [a; b]
1
) jF (s1 ; t1 )
F (s2 ; t2 )j < ":
Escribamos:
s
(t) := F (s; t) ; 8 (s; t) 2 [0; 1]
[a; b] :
Ahora tenemos que
js1
s2 j
de donde Ind
s1
<
)
;
t 2 [a; b] )
s2 (t) < " := dist (z; K)
s1 (t)
(z) =Ind
s2
s1
(t)
z ;
(z); y, por tanto, la función
s ! Ind
s
(z)
es uniformemente continua y, en particular,
Ind
0
(z) = Ind
1
(z) ;
de donde, por la arbitrariedad de z, se sigue el resultado. Q.E.D.
De…nición. Un espacio topológico X se dice simplemente conexo si toda curva
cerrada en X es X-homótopa a una constante.
Los dominios estrellados son X-homótopos a su punto de estrella.
Corolario.
Los abiertos simplemente conexos son homológicamente conexos.
Demostración. Sea una curva cerrada en
(que, por hipótesis, será
-homótopa a una constante 1 ). La proposición anterior nos dice que
Ind (z) = Ind
1
(z) ; 8z 2 Cn ;
luego es -nulhomóloga. Como era arbitraria en , se sigue que este es
homológicamente conexo. Q.E.D.
Y el estado de la cuestión queda sintetizado en el resultado siguiente:
Corolario. Para cada dominio
siguientes a…rmaciones:
i.
ii.
= C o bien
del plano complejo C vamos a considerar las
es isomorfo a D:
es homeomorfo a D:
iii.
es simplemente conexo.
iv.
es homológicamente conexo.
Entonces: i. ) ii. ) iii. ) iv.
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1. Prueba que si
es un dominio estrellado, entonces Cn no tiene componentes conexas acotadas. Concluye que los dominios estrellados son
homológicamente conexos.
2
2. Prueba que Cnf0g no es simplemente conexo.
3. Sea un abierto simplemente conexo del plano complejo C tal que R+
y02
= . Prueba que existe una función holomorfa en , f 2 H ( ), tal
que
f (x) = xx ; 8x > 0:
¿Puede suprimirse la hipótesis de que
3
sea simplemente conexo?
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