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UNIFORMIZACI ´ON DE DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS Y

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UNIFORMIZACI ´ON DE DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS Y
UNIFORMIZACIÓN DE DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS Y
ACOTADOS.
PABLO PÉREZ LUCAS
1.
R
En este trabajo demostraremos que cualquier subconjunto abierto simplemente
conexo y acotado del plano, es holomorfamente equivalente al disco unitario. Posteriormente el resultado se extiende para todos los subconjuntos propios abiertos
simplemente conexos del plano.
2.
U́      .
Proposición 1. Dado v ∈ D existe una función holomorfa f : D → D con un único punto
crı́tico c ∈ D tal que f : D \ {c} → D \ {v} es una función cubriente de grado 2 y f (0) = 0.
Demostración. Sea q(z) = z2 . Considérese una transformación de Möbius φ : D → D
tal que φ(0) = v. Note que la función g := φ ◦ q ◦ φ−1 es tal que g(v) = v. Ahora,
por la 3-transitividad del grupo de transformaciones de Möbius podemos tomar
w ∈ D tal que g(w) = 0 y otra transformación de Möbius ψ : D → D tal que ψ(0) = w.
Finalmente, la función f := g ◦ ψ claramente fija a 0, pues f (0) = g(ψ(0)) = g(w) = 0
y dado que q0 (φ−1 ◦ ψ(ψ−1 (v))) = q0 (φ−1 (v)) = q0 (0) = 0 se tiene que f 0 (ψ−1 (v)) =
φ0 (q ◦ φ−1 ◦ ψ(ψ−1 (v))) · q0 (φ−1 ◦ ψ(ψ−1 (v))) · [φ−1 ]0 (ψ(ψ−1 (v))) · ψ0 (ψ−1 (v)) = 0, es decir,
ψ−1 (v) es punto crı́tico de f , la unicidad de este punto crı́tico se obtiene por la
fórmula de Riemann-Hurwitz:
nD − 2 = d(nD − 2) + r.
(1)
Donde nD representa el número de componentes frontera de D, d = grad( f ) y r es
el número de puntos crı́ticos de f. Para nuestro caso nD = 1 y d = 2 por lo que en (1)
se tiene que r = 1. Además, el valor crı́tico de f es f (ψ−1 (v)) = g ◦ ψ(ψ−1 (v)) = g(v) =
v.
Corolario 1. Sea U ⊂ D un subconjunto abierto simplemente conexo que contiene a 0. Si
U , D entonces existe una función holomorfa y univalente (inyectiva) F : U → D tal que
F(0) = 0 y | F0 (0) |> 1.
Demostración. Sea v ∈ D \ U y f : D → D como en la proposición 1, de esta forma
tenemos que f (0) = 0 por lo que por el lema de Schwarz tenemos que | f 0 (0) |≤ 1,
pero si la igualdad se cumple entonces f es una rotación, es decir f (z) = kz con | k |= 1
para todo z ∈ D. Sin embargo, de esto último tenemos que f 0 (z) = k , 0 lo cual es
una contradicción, pues f tiene un punto crı́tico, ası́ | f 0 (0) |< 1. Por otro lado, como
f : D \ {c} → D \ {v} es una función cubriente y U ⊂ D \ {v} es simplemente conexo
existe una función holomorfa univalente F : U → D tal que F(0) = 0 y f ◦ F = IU
Date: 08 de febrero de 2012.
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PABLO PÉREZ LUCAS
(identidad en U). Al derivar vemos que f 0 (F(0)) · F0 (0) = f 0 (0) · F0 (0) = 1 y se tiene
que | F0 (0) |> 1, pues | f 0 (0) |< 1.
Lema 1. Sea W ⊂ C dominio, fn : W → C holomorfas e inyectivas tal que fn converge
uniformemente en subconjuntos compactos de W a una función f0 entonces f0 es inyectiva
o constante.
Demostración. Supongamos que f0 no es inyectiva entonces existen α, β ∈ W, α , β
tal que f0 (α) = f0 (β). Definimos la función gn (z) = fn (z) − fn (α), observese que gn (z) =
0 si y sólo si z = α. Por hipótesis gn (z) converge uniformemente a g0 (z) := f0 (z)− f0 (α),
si g0 (z) , 0 entonces g0 (β) = 0, es decicr β es un cero aislado de la función g0 , por
lo que podemos tomar > 0 tal que gn (z) , 0 en D = D(β, ), además gn (z) converge
uniformemente en subconjuntos compactos de W a la función g0 por lo que por el
teorema de Hurwitz (ver[4,p.178]) se tiene que g0 (z) , 0 ó g0 (z) = 0, ası́, si g0 , 0
entonces f0 es inyectiva y si g0 = 0 entonces f0 es constante.
Teorema 1. Sea W ⊂ C un subconjunto abierto simplemente conexo y acotado, con z0 ∈ W.
Entonces existe un difeomorfismo holomorfo φ : W → D tal que φ(z0 ) = 0. Cualquier otro
difeomorfismo holomorfo es la composición de φ con una rotación.
Demostración. Consideremos la familia F que consiste de todas las funciones holomorfas y univalentes de W en D que mandan z0 en 0. Como W es acotado, esta
familia claramente no es vacı́a, dado que la composición de una traslación con
una contracción lineal sirve como un ejemplo,más aún sin perdida de generalidad
podemos suponer W ⊂ D. Como para toda f ∈ F se tiene que | f |< 1 entonces F es
una familia de funciones holomorfas uniformemente acotada, es decir equicontinua y por lo tanto una familia normal por el teorema de Montel. Note que la función
f ∈ F tal que f 7−→| f 0 (0) | es acotada, por el lema de Schwarz.
Ahora, para r > 0 adecuado tal que D = D(0, r) ⊂ W tenemos por la desigualdad de
Cauchy que:
1
1
| f 0 (0) |≤ sup∂D | f |≤ para toda f ∈ F .
r
r
Por lo que s = sup{| f 0 (0) |: f ∈ F } existe. Ası́, por definición de supremo existe una
sucesión fn ∈ F tal que | fn0 (0) | converge a s. Como F es una familia normal,podemos
asumir, pasando por una subsucesión, que fn converge uniformemente en subconjuntos compactos de W (recordar que esto se puede porque W es un dominio y
por lo tanto tiene una extenuación) a una función φ la cual es holomorfa por el
teorema de Weierstrass de convergencia uniforme (ver [3,p.53-54]), mas aún sabemos que la derivada de fn también converge uniformemente sobre subconjuntos
compactos a la derivada de φ por lo que | φ0 (z0 ) |= s, como s , 0 se tiene que φ no es
constante entonces φ es univalente por el lema 1, se sigue que también su imagen
U = φ(W) debe ser un subconjunto simplemente conexo de D. Finalmente, si U , D
entonces por corolario 1 sabemos que existe una función univalente F : U → D tal
que F(0) = 0 y | F0 (0) |> 1. Esto no puede ser posible porque F ◦ φ estarı́a en F y el
valor de absoluto de su derivada en 0 seriá mayor que sup{| f 0 (0) | : f ∈ F }. Por lo
tanto dicha función F debe ser una rotación.
Nota 1. La inversa del difeomorfismo φ construı́do en el teorema 1 es llamada
la función de Riemann del conjunto abierto simplemente conexo W. El comportamiento de la función de Riemann en la frontera del disco depende mucho de las
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propiedades topológicas de la frontera de W. Para la demostración del siguiente
teorema ver [5,p.70].
Definición 1. Una curva ó un arco de Jordan es un conjunto homeomorfo a S1 ó a
[0, 1] respectivamente.
Definición 2. Un dominio de Jordan G es un conjunto abierto simplemente conexo
tal que su frontera ∂G es ó una curva de Jordan ó unión finita de arcos de Jordan.
Teorema 2. Sea W un dominio simplemente conexo de la esfera de Riemann Ĉ = C ∪ ∞
cuyo complemento contiene al menos dos puntos entonces
La función de Riemann de W se extiende continuamente a la frontera de D si y
sólo si ∂W es localmente conexa.
La función de Riemann se extiende a un homeomorfismo de la clausura de D sobre
la clausura de W si y sólo si ∂W es una curva de Jordan.
Ejemplo 1. Considere el conjunto A obtenido al suprimir del cuadrado S = {z :
0 < Re z < 2 y 0 < Im z < 2} los segmentos verticales Jn = {z = n1 + iy : 0 ≤ y ≤ 1},
n = 1, 2, 3, . . .. El teorema de la función de Riemann garantiza que existe una función
conforme de A sobre D, pero el pretender extenderla continuamente a la frontera
de A, particularmente a 0, crea problemas.
Nota 2. La función de Riemann también depende continuamente del dominio
de Jordan si antes es convenientemente normalizado. El siguiente teorema fue
provado por Markushevich [5,teorema 2.26,p.72], y O.J. Farrel [6,teorema III,p.373].
Teorema 3. Sea V1 ⊃ V2 ⊃ · · · una sucesión decreciente de dominios de Jordan uniformemente acotados cuya intersección es un dominio de Jordan V. Sea z ∈ V y sea φn : Vn → D
la función de Riemann normalizada de tal forma que φn (z) = 0 y la derivada de φn en z
es un número real positivo. Entonces la restricción de φn a la clausura V̄ de V converge
uniformemente a la función de Riemann de V.
R
[1]
Edson de Faria and Wellington de Mello, Mathematical Tools for One-Dimensional Dynamics.
Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2008.
[2]
L. Carlenson and T. W. Gamelin. Complex Dynamics. Springer, 1992.
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E.M. Stein and R. Shakarchi. Complex Analysis. Princeton University Press, 2003.
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L.V. Ahlfors. Complex Analysis. McGraw-Hill 1979.
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A.I. Markushevich. Theory of Functions of a Complex Variable, vol. III. Prentice-Hall, 1967.
[6]
O.J. Farrel. On aproximation to a mapping function by polynomials. Am. J. Math 54 (1932), 571-578.
[7]
J. E. Marsden y M. J. Hoffman. Análisis Básico de Variable Compleja. Editorial Trillas, 2005.
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