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teorema del resto
TEOREMA DEL RESTO
Si C(x) es el cociente y R(x) el resto de la división de un polinomio cualquiera
P(x) entre el binomio (x – a), aplicando el algoritmo de la división:
P(x) = C(x) · (x – a) + R(x)
Luego, el valor numérico de P(x), para x = a, es igual al resto de su división
entre x – a, es decir:
P(a) = C(a) · (a – a) + R(a) = R(a)
Y este resultado se conoce como teorema del resto.
Este teorema nos permite averiguar el resto de la división de un polinomio P(x)
entre otro de la forma x – a, sin necesidad de efectuar esta división.
De este teorema se deduce que un polinomio P(x) es divisible por x – a si y
solo a es una raíz del polinomio, es decir, si y solo si P(a) = 0.
Así, por ejemplo, el resto de la división de P(x) = x3 + 3x2 – 7x – 3 entre x – 2
es:
P(2) = (2)3 + 3 · (2)2 – 7 · (2) – 3 = 3
De donde se deduce que esa división no es exacta y, por tanto, x – 2 no es un
divisor de P(x).
1. Determina el resto de las siguientes divisiones sin necesidad de efectuarlas.
a) (x4 – 16) : (x – 2) =
c) (–x2 + x + 1) : (x + 3) =
b) (x5 + x – 2x3) : (x – 1) =
d) (x3 + 2x2 – x + 1) : (x – 2) =
2. Dados los polinomios P(x) = x2 + 3x + 5, Q(x) = x2 – 4x + 4 y R(x) = x3 – 20, indica,
sin hacer la división, cuales son divisibles por x – 2.
3. Hallar el valor de m para que el polinomio P(x) = 8x3 – 4x2 + 2x + m sea divisible por
(x – 1/2).
4. Hallar el valor de m para que el polinomio P(x) = x3 – 9x2 + mx – 32 sea divisible por
(x – 4).
5. Hallar el valor de m para que el polinomio P(x) = 2x3 + 2x2 – 4m + 3 sea divisible por
(x + 1/2).
6. Hallar el valor de m y n para que el polinomio P(x) = x3 + mx2 + nx + 6 sea divisible
por (x + 3) y por (x – 2).
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