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Propiedades características de un metal o donde estábamos en 1900

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Propiedades características de un metal o donde estábamos en 1900
Propiedades características
de un metal o donde
estábamos en 1900
ρ
¾Los
metales son buenos conductores de la electricidad.
Podemos caracterizar esta propiedad introduciendo
la resistividad eléctrica ρ o su inversa la conductividad
σ que son propiedades intrínsecas de cada material y se
definen mediante la ley de Ohm:
V=R I
V=E L
L
A
R es la resistencia eléctrica y depende del tamaño de la
muestra. La densidad de corriente j=I/A es la cantidad de
carga por unidad de tiempo que pasa por una sección unitaria
perpendicular a la dirección de la corriente
V = R j A
E = RA/L j
ρ ≡ RA/L
La ley de Ohm se escribe
E= ρ
j
La resistividad se mide en Ω−m
• Metal ρ ~ µΩ−cm
•Semiconductor ρ ~ 103 -1012 µΩ−cm
•Aislador hasta 1020 µΩ−cm
• La resistividad depende linealmente de la temperatura
(salvo a bajas temperaturas).
ρ= A T + B
Para muestras muy puras (baja densidad de impurezas), B∼0.
Dependencia de ρ con T
• Los metales son tambien buenos conductores del calor.
La conductividad térmica κ se define por la ley de Fourier
jq=-κ∇T
El flujo de calor es proporcional al gradiente de temperaturas.
La conductividad térmica
varia poco con la
temperatura
Wiederman-Franz
• Las conductividades eléctricas y térmicas varian mucho de un
metal a otro. Ej: σ (o κ) del oro es 10 veces la del plomo.
Sin embargo la relación σ/ κ se mantiene constate a una dada
temperatura.
Wiederman y Franz (1857) observaron que las mediciones para
diferentes metales y diferentes temperaturas pueden resumirse
en la siguiente ley:
κ
= LT
σ
L (llamado número de Lorentz) varia poco con la temperatura y
con el material
Calor Específico
El calor específico molar de un metal es similar al de un
aislador.
Aumenta rapidamente a bajas temperaturas y luego satura en un
valor constante cercano a 6 cal/mol K o sea 3 NA k/ mol (N A =
número de Avogadro, k= constante de Boltzman).
Esta es la Ley de Dulong y Petit
Modelo de Drude
z
Consideramos un gas de electrones libres que
corresponden a los electrones de valencia de los
átomos de un metal.
electrón de valencia(Z )
Ej: Li Z =3 1s2 2 s 1
v
n=NA Zv ρm / A
masa átomica (gr de un mol)
densidad de masa
Átomos por mol 0.6 1024
Introducimos un radio de la esfera que contiene cada electrón:
V
N
=
1
n
=
4
π
3
rs
3
n y rs para diferentes metales
Hipotesis de Drude
1.El movimiento del electrón es sólo
perturbado por colisiones que ocurren en
promedio cada τ. 1/ τ da la probabilidad por
unidad de tiempo de que un electrón
experimente una colisión.
2. Entre colisiones el electrón se mueve siguendo las
leyes de Newton:
f = -e E o f = 0 si E = 0
3. Después de una colisión el electrón ´olvida´ la
velocidad que traía y arranca con una dirigida al
azar pero cuyo módulo corresponde a la
temperatura en ese sitio.
Ecuación de Movimiento
p
dp
= f (t ) −
τ
dt
z Las
colisiones introducen un término de
amortiguamiento.
z La velocidad p/m es la velocidad de arrastre
(o deriva) del gas no la velocidad de cada
electrón.
Conductividad Eléctrica
j = −nev
− eEτ
v=
m
ne τ
σ=
m
2
m 4π
2
3
e 3a0
3
⎛ rs ⎞ −14
m
0.22
⎜⎜ ⎟⎟ 10 s
τ=
=
2
ρne
ρ ( µΩ − cm) ⎝ a0 ⎠
La velocidad cuadrática media
es (Maxwell-Boltzman)
El camino libre medio es
λ= v0τ≈1-10 Å
1
3
2
mv 0 = kT
2
2
v 0 ≈ 105 m / s
a T ambiente
La velocidad cuadrática media
es (Fermi-Dirac)
v F ≈ 10 6 m / s
El camino libre medio es
λ= vFτ≈10-100 Å
A bajas Temperaturas λ puede ser mayor que 103 Å
y llegar casi hasta el centímetro
Conductividad Térmica
T1
T2
T1 > T2
x
Flujo neto de energía
Los electrones que
llegan desde la
izquierda tuvieron
su última colisión
en la región de
mayor T
Ejemplo en 1D
La mitad viene del lado caliente y la otra mitad del frío
E(T(x-vx τ))
x
E(T(x+vx τ))
nv x
{E (T ( x − vxτ )) − E (T ( x + vxτ ))}
j =
2
x
q
dE dT
− 2λ
dT dx
En 3D v
2
= 3v
2
x
{
1 2
jq = − v τ cv ∇T
3
}
{
}
1 2
1
κ = v τ cv = vλcv
3
3
y se cumple Wiederman-Franz
3
3 kT
m
Maxwell- Boltzman
2 nk
2
1 3v τcv
κ
3⎛k ⎞
−8 WΩ
= 2
= ⎜ ⎟ = 1.11 10
σT ne τ mT 2 ⎝ e ⎠
K2
2
del orden de la mitad del valor experimental
V
π
2
F
2
2
1 3v τcv
κ
π
= 2
=
σT ne τ mT
3
2
2
k 2T
n
E F
Fermi-Dirac
⎛k ⎞
−8 WΩ
⎜ ⎟ = 2.44 10
2
⎝e⎠
K
2
del orden del valor experimental
Poder termoeléctrico
Además de un flujo de energía habrá uno de cargas (en la
medición de κ no se ve porque es a circuito abierto).
Efecto Seebeck
A un gradiente térmico se opone un campo eléctrico
jq
E = Q∇T
T1
T2
+
-
∇T
E
T1 > T2
Usando Drude y estadística clásica sale:
Q=−
cv
k
= − = −0.43 ×10 − 4 V / K
3ne
2e
El Q experimental es del orden de µV/K, 100 veces más chico. Esto
se explica usando Fermi-Dirac
π
2
2
k 2T
n
E F
⎛ kT ⎞
cv
π k kT
Q=−
=−
= −1.42⎜ ⎟ × 10− 4 V / K
3ne
6 e EF
⎝ EF ⎠
2
0.01
En algunos metales el signo del Q es opuesto al predicho por Drude.
Para medir este efecto:
V=(QA-QB)(T2-T1)
Efecto Hall
Aplico H y Ex
Ey es el campo Hall, se origina al desviarse
los e por la fuerza de Lorentz
¾ Magnetoresistencia
¾ Coef. Hall
RH =
Ex
ρ (H ) =
jx
E
y
jx H
dp
p
p
= − − e( E + ∧ H )
dt
m
τ
En el estado estacionario
ρ =
RH
m
e 2nτ
1
= −
ne
=
1
σ
0
en
dp
= 0 jy = 0 j = − p
m
dt
Ondas de densidad de carga
El sistema electrónico tiene una frecuencia propia ωp (frecuencia de
plasma).
Imaginemos el siguiente experimento:
σ
Nm d = − Ne
ε0
..
σ ned
=
ε0 ε0
..
Nm d = −
2
Nne d
ε0
que corresponde a un oscilador armónico de frecuencia:
2
ne
ω =
ε 0m
2
p
Es una onda de densidad de carga o plasmón. Para verlo hacemos pasar
un haz de electrones por una lámina del material.
medido
calculado
Conductividad en corriente
alterna
La ecuación de movimiento en presencia de un campo eléctrico
dependiente del tiempo:
p
dp
= −eE(t ) −
τ
dt
Si excitamos con una campo alterno:
E(t ) = Re(E(ω )e
− i ωt
)
Tendremos una solución de la forma
p(t ) = Re(p(ω )e
− i ωt
)
Si sustituimos las formas complejas en la ecuación de movimiento
obtenemos la conductividad compleja σ(ω)
j(ω ) = σ (ω )E(ω )
σ0
σ (ω ) =
1 − iωτ
e nτ
σ0 =
m
2
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