...

Septiembre 2011 B2

by user

on
Category: Documents
0

views

Report

Comments

Transcript

Septiembre 2011 B2
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Septiembre 2011
OPCIÓN B
PROBLEMA 2. Un ganadero ordeña una vaca desde el día siguiente al día que ésta pare hasta 300
días después del parto. La producción diaria en litros de leche que obtiene de dicha vaca viene dada
por la función:
120 x − x 2
+ 40
f ( x) =
5000
donde x representa el número de días transcurridos desde el parto. Se pide:
a) El día de máxima producción y la producción máxima.
b) El día de mínima producción y la producción mínima.
Solución:
Busquemos los extremos de la función.
Vamos a estudiar el signo de f´(x),
120 − 2 x
5000
120 − 2 x
f ′( x) = 0 →
= 0 → 120 − 2 x = 0 → 120 = 2 x → x = 60
5000
f ′( x) =
Debemos estudiar el signo de f´(x) en los siguientes intervalos,
x = 50 →
x = 70 →
120 − 2.50
20
=
=+
5000
5000
120 − 2.70 − 20
f ′(70) =
=
=−
5000
5000
f ′(50) =
Luego:
Por lo que en x = 60 hay un máximo relativo, y como la función a la izquierda de 60 es creciente y a la derecha
120 . 60 − 60 2
3600
decreciente este máximo relativo es el absoluto. x = 60 → f (60 ) =
+ 40 =
+ 40 = 40´72
5000
5000
Como f(x) es creciente de 1 a 60 y decreciente de 60 a 300, el mínimo absoluto corresponderá a uno de los extremos
del intervalo de definición. Calculemos en que extremo se alcanza el mínimo:
120 . 1 − 12
119
x = 1 → f (1) =
+ 40 =
+ 40 = 40´0238
5000
5000
120 . 300 − 300 2
− 5400
x = 300 → f (300 ) =
+ 40 =
+ 40 = 29´2
5000
5000
Luego el mínimo se alcanza para x = 300 (último día)
Por lo tanto: el día de máxima producción es a los 60 días después del parto y produce 40´72 l. de leche
y el día de mínima producción es a los 300 días después del parto y produce 29´2 l. de leche.
Fly UP