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Introducción a la estimación del error. Remallado

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Introducción a la estimación del error. Remallado
Estimación del error
Criterios para remallado
Tipos de errores
Q
Q
Q
Q
Q
Discretización: carácter polinómico de la aproximación.
X Orden del primer término no incluido en el polinomio
interpolante completo
X Rigidización artificial de la estructura
Calculo numérico de integrales para K, P, etc.
X Exacto sólo en elementos no distorsionados
X A veces la integración inexacta de K (menos rigidez) cancela
el error de discretización (!)
Aproximación de la geometría (supuesta forma polinómica)
Solución del sistema de ecuaciones
X Redondeo y truncamiento por aritmética finita.
Ecuación constitutiva lineal
1
Medidas del error
Medidas del error en un punto del dominio:
Q
eu = uex − u = uex − N δe
eσ = σex − σ = σex − DBδe
e ε = εex − ε = εex − Bδe
Poco prácticas.
Medida integral: norma L2 del error en desplazamiento
Q
Q
⎡
⎤
T
e u = ⎢ ∫ e u e ud Ω ⎥
⎣ Ω
⎦
2
1/ 2
Medidas del error (cont.)
Muy habitual: norma energética del error en tensión
Q
⎡
⎤
T −1
eσ = ⎢ ∫ eσ D eσd Ω⎥
⎣ Ω
⎦
1/2
En elasticidad lineal es igual el error en σ y en ε
El cuadrado de las normas integrales se obtiene por suma en
los elementos
Q
2
eσ =
∑(e )
e 2
σ
e
No se conoce la solución exacta: estimarla
Q
3
Estimación del error en tensión
Q
Q
Q
Solución en tensiones del MEF es discontinua
Campo de tensiones alisado es continuo y es una aproximación
mejor que la solución discontinua
Se define el estimador del error en tensión en un punto:
X Diferencia entre la tensión alisada y la discontinua del MEF.
eσ = σex − σ ≈ σ − σ
Norma energética del error en tensión estimada:
Q
eσ = ⎡⎢ ∫ (σ − σ)T D−1 (σ − σ )d Ω⎤⎥
⎣ Ω
⎦
4
1/2
Estimación del error en tensión (cont.)
Q
Q
Q
Las tensiones alisadas varían según las N de los
desplazamientos. Las tensiones según un orden menor.
El error en tensión definido varía como las tensiones alisadas: es
la diferencia entre alisadas y no alisadas.
El error en tensión tiende a cero con el tamaño del elemento.
eσ = O (h
m
)
m: orden de las funciones de interpolación N
h : tamaño medio de los elementos en la malla.
5
Métodos de refinado
Q
Q
Refinado global
X Cambiar el tamaño de todos los elementos, en función del
error global de toda la malla.
Refinado local
X Cambiar el tamaño de cada elemento, en función de la parte
de error global que le corresponde.
X Por distribución uniforme del error global
)
X
Por distribución del error específico
)
6
A todos los elementos les corresponde la misma parte del error.
A cada elemento le corresponde un error proporcional a su área.
Refinado de la malla por error global (I)
Q
Norma energética del error debe ser menor que una pequeña
fracción (η) de la norma de la energía total acumulada |U|
eσ ≤ η U
Q
Definimos el parámetro de error global de la malla
eσ
ξg =
=
ηU
Q
7
⎡
⎤
T −1
U = ⎢ ∫ σ D σd Ω⎥
⎣ Ω
⎦
1/2
1/ 2
⎡ e D e d Ω⎤
σ
⎢⎣ ∫
⎥⎦
1/ 2
−1
T
⎡
⎤
η ⎢ ∫ σ D σd Ω⎥
⎣
⎦
T
σ
Criterio de refinado: ξg >1 refinar
−1
ξg <1 aumentar tamaño
Refinado de la malla por error global (II)
Q
Dado que la norma del error es:
eσ = O (h
Q
Q
ξgnue
8
)
→
ξg = O (h
m
)
Buscamos un nuevo tamaño de elementos tal que ξgNue=1
El nuevo tamaño medio de los elementos debe cumplir
ξg
Q
m
m
⎛ h ⎞
⎟⎟
= ⎜⎜
⎜⎝ hnue ⎠⎟
hnue =
h
1/ m
g
ξ
Criterio para cambiar el tamaño de todos los elementos
Refinado por distribución uniforme del error global (I)
Q
Q
Malla óptima: si el error global se distribuye por igual entre
todos los elementos.
A todos los elementos (e) les corresponde la misma parte
del error global (n: número de elementos)
e
eσ dis
Q
eσ
=
n
El parámetro de error local del elemento es la relación entre
el error que tiene y el que le corresponde por distribución:
e
e
eσ
eσ
ξ =
=
e
−1/2
eσ dis
eσ n
e
9
Refinado por distribución uniforme del error global (II)
Q
Para tener en cuenta la importancia del elemento en la
malla, se define el parámetro de refinamiento del
elemento, que incluye al error global.
e
eσ
ξ = ξ ξg =
−1/2
ηU n
e
Q
10
e
Mide la relación entre el error en el elemento y el valor
distribuido sobre los elementos del error permisible global.
Refinado por distribución uniforme del error global (III)
Q
El error existente en un elemento es del orden:
e
e 1/2
eσ = O (h )O (Ω )
m
≈ O (h )O (h
m
d 1/ 2
)
≈ O (h
d: número de dimensiones del problema (1, 2, 3)
m: orden de los polinomios en las N
ξ = O (h
e
(2m +d )/2
Q
Luego:
Q
Nuevo tamaño del elemento:
e
e
ξ = ξ ξg
11
)
hnue =
ξg = O (h )
m
h
2
e 2m +d
(ξ )
1
m
(ξg )
m +d / 2
)
Refinado por distribución del error específico (I)
Q
Q
Malla óptima: si el error por unidad de área es el mismo en
toda ella.
El error distribuido a cada elemento es proporcional a su
área:
1/2
e
eσ dis
Q
⎛ Ωe ⎞
= eσ ⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝Ω⎠
El parámetro de error local del elemento es ahora:
e
eσ
eσ
ξ =
=
e
eσ dis
eσ
e
12
e
1/2
⎛Ω⎞
⎜⎜ e ⎟⎟
⎝Ω ⎠
Refinado por distribución del error específico (II)
Q
El parámetro de refinamiento del elemento es ahora:
e
eσ
ξ = ξ ξg =
ηU
e
Q
⎛Ω⎞
⎜⎜ e ⎟⎟
⎝Ω ⎠
El parámetro de error de elemento es del orden:
e
ξ =
13
e
1/2
O ( eσ
e
)
e 1/ 2
O (Ω )
e 1/ 2
O (h )O (Ω )
m
=
e 1/ 2
O (Ω )
= O (h )
m
Refinado por distribución del error específico (III)
Q
Luego el nuevo tamaño del elemento es:
hnue =
Q
Q
14
h
1
e
m
(ξ )
=
h
1
e m
1
m
(ξ ) (ξg )
Este método refina las mallas más y más en las zonas
de concentración de tensión (mejor).
En general produce mallas con más elementos que con
la distribución del error global.
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